Question

Considere a seguinte função f:(0,∞)×(0,∞)→R de duas variáveis x e y

z=f(x,y)=[ln(xy)]^2

Obtenha a derivada parcial ∂2f/∂y2 da função f no ponto de coordenadas x=2 e y=1/2. Responda no espaço abaixo o valor correto desta derivada usando pelo menos seis dígitos decimais em sua resposta.

Observação 1: Utilize sempre em seus cálculos, pelo menos, 6 dígitos decimais.

Observação 2: Não esqueça que as funções trigonométricas, quando houverem, devem ser utilizadas com seu argumento em radianos.

Answer 1

Resposta:

8

Explicação passo-a-passo:

Na derivada parcial, consideramos uma das variáveis constante, imutável, e na derivação ela irá se comportar como uma constante. Assim, vamos derivar

${ln(xy)}^{2}$

Considerando x uma constante. Assim, usamos regra da cadeia:

$= 2 \times ln(xy) \times \frac{x}{xy}$

E assim podemos simplificar o x na fração e temos nossa primeira derivada parcial em y. Vamos derivar novamente, ainda considerando x uma constante:

$= 2 \times (\frac{x}{xy} \times \frac{1}{y} - ln(xy) \times \frac{1}{ {y}^{2} } )$

Perceba que foi usada a regra do produto.

Apesar de podermos organizar, nós já podemos colocar os valores de x e y, para poder calcular, lembrando que x = 2 e y = 1/2:

$= 2( \frac{1}{ { (\frac{1}{2} )}^{2} } - 0)$

O 0 aparece pois xy = 2/2 = 1, e o ln(1) = 0. Assim, zerando toda a segunda parcela.

Agora, basta chegar no resultado final.

Answer 2

Resposta:

f(x,y)=[ln(xy)]^2

fy =  2*ln(xy)  * (xy)'/xy

fy =  2*ln(xy)  * x/xy

fy =  2*ln(xy)  * 1/y

fyy= 2* [(xy)'/xy  * 1/y   + ln(xy) * (-1)/y² ]

fyy=2*[ x/xy  * 1/y   + ln(xy) * (-1)/y²]

fyy= 2*[1/y²   -ln(xy) /y²]

fyy(2,1/2) =2* [ 1/(1/2)² - ln(2*1/2)/(1/2)²]

fyy(2,1/2) = 2*[4 - 0/(1/2)²]

fyy(2,1/2) = 2*4

fyy(2,1/2) =8,000000