Question

Considere a seguinte função de reais em reais onde f ( x ) = x⁵ + x³ + x

a ) f é injetora?
b ) f é sobrejetora?
c ) intuitivamente encontre f⁻¹ ( 3 ) e f ( f⁻¹ ( 2 ) ).

Answer 1

Olá!

a) $f$ é injetiva?

Tome dois elementos $f(x_1)\;,\;f(x_2)$ no conjunto imagem desta função e suponha que $f(x_1)=f(x_2).$ Daí,

$f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow x_1^5+x_1^3+x_1=x_2^5+x_2^3+x_2.$

Da igualdade de polinômios, isso ocorre se, e somente se, $x_1=x_2$.

Portanto, $f$ é injetiva.

b) $f$ é sobrejetiva?

A função dada é polinomial, então para cada valor real no contradomínio sempre existirá um correspondente no domínio. Ou seja, neste caso, o contradomínio coincide com a imagem, que é o conjunto dos reais.

Portanto, $f$ é sobrejetora.

c)

Como a função é uma bijeção (sobrejetora + injetora), então ela admite uma inversa, e vale $f\circ f^{-1}=id=f^{-1}\circ f,$ onde

$f^{-1}$ denota a inversa de $f$

$id$ denota a função identidade nos reais ($id(x)=x,\;\forall x\in\mathbb{R}$)

$\text{"}\;\circ\;\text{"}$ denota a composição de funções, por exemplo, $f\circ{g}(x)=f(g(x)).$

Intuitivamente, deverá existir $x$ real (pois o domínio da função também é o conjunto dos reais), de modo que $f(x)=3$.

De fato, se temos $f^{-1}(3)=x,$ para algum $x$ no domínio da função, então $f\circ f^{-1}(3)=f(x)\Leftrightarrow id(3)=f(x)\Leftrightarrow f(x)=3.$ Logo, como a função é polinomial, e tem 3 termos, se cada um deles valer 1, teremos o resultado igual a 3. Ou seja, para $x=1$ temos $f(1)=1^5+1^3+1=1+1+1=3$.

Assim,

$f^{-1}(3)=1.$

Ainda,

$f\circ f^{-1}(2)=f(f^{-1}(2))=id(2)=2.$

Bons estudos!