Question

Considere a seguinte função de duas variáveis f(x, y) = x3 – xy + y2 - 2x + 3y – 4.
(a) Determine os seus pontos críticos.
(b) Classifique os pontos encontrados

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo multivariável.

Seja a função de duas variáveis $f(x,~y)=x^3-xy+y^2-2x+3y-4$. Devemos determinar e classificar seus pontos críticos.

Primeiro, lembre-se que os pontos críticos de uma função de duas variáveis são os pontos onde suas derivadas parciais de primeira ordem, $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ são nulas.

Calculando estas derivadas parciais, temos:

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^3-xy+y^2-2x+3y-4)\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^3-xy+y^2-2x+3y-4)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis em respeito a uma de suas variáveis é calculada considerando o restante das variáveis como constantes.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$ e $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$. Em particular, o caso $n=0$ torna o termo constante e sua derivada é zero.

Aplique a linearidade

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^3)-y\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x)-2\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x)+\dfrac{\partial}{\partial x}(y^2+3y-4)\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^3-2x-4)-x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y)+\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)+3\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(y)$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=3\cdot x^{3-1}-y\cdot1\cdot x^{1-1}-2\cdot1\cdot x^{1-1}\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^2-y-2}\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=-x\cdot1\cdot y^{1-1}+2\cdot y^{2-1}+3\cdot1\cdot y^{1-1}\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}=-x+2y+3}$

Igualamos estas derivadas a zero e isolamos a variável $y$, de modo que:

$3x^2-y-2=0\\\\\\ \Rightarrow y=3x^2-2\\\\\\ -x+2y+3=0\\\\\\ \Rightarrow y=\dfrac{x-3}{2}$

Então, fazemos:

$3x^2-2=\dfrac{x-3}{2}\\\\\\ 6x^2-4=x-3\\\\\\ 6x^2-x-1=0$

Resolvendo esta equação quadrática, obtemos:

$x=-\dfrac{1}{3}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{1}{2}$

Substituindo estes resultados no passo anterior, calculamos os respectivos valores de $y$:

$y=3\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2-2=3\cdot\dfrac{1}{9} -2=\dfrac{1}{3}-2=-\dfrac{5}{3}\\\\\\ y=3\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-2=3\cdot \dfrac{1}{4}-2=-\dfrac{5}{4}$

Dessa forma, os pontos críticos desta função são $\left(-\dfrac{1}{3},\,-\dfrac{5}{3}\right)$ e $\left(\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{5}{4}\right)$.

Então, para classificarmos estes pontos críticos, devemos calcular suas derivadas parciais de segunda ordem e o determinante da matriz Hessiana: $H(x,~y)=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}&\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}&\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\\\end{bmatrix}$.

Lembre-se que $\dfrac{\partial^2f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$ e $\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$, o mesmo serve analogamente para o restante das derivadas.

Então, teremos:

$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2-y-2)=6x\\\\\\ \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}(-x+2y+3)=-1=\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\\\\\\ \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-x+2y+3)=2$

A matriz Hessiana é igual a: $H(x,~y)=\begin{bmatrix}6x&-1\\-1&2\\\end{bmatrix}$, cujo determinante é: $\det(H)=12x$.

Assim, seja $(a,~b)$ um ponto crítico da função $f(x,~y)$, ao calcularmos $\det(H)$ e $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=f_{xx}$ neste ponto, temos as seguintes conclusões sobre seus valores:

• Se $\det(H)>0$ e $f_{xx}(a,~b)>0$, $(a,~b)$ é um ponto de mínimo local.
• Se $\det(H)>0$ e $f_{xx}(a,~b)<0$, $(a,~b)$ é um ponto de máximo local.
• Se $\det(H)<0$, $(a,~b)$ é um ponto de sela.
• Se $\det(H)=0$, nada se pode afirmar.

Nos pontos críticos que encontramos, teremos:

$f_{xx}\left(-\dfrac{1}{3},\,-\dfrac{5}{3}\right)=6\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-2<0$ e $\det(H)=12\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-4<0$, logo $\left(-\dfrac{1}{3},\,-\dfrac{5}{3}\right)$ é um ponto de sela.

$f_{xx}\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{5}{4}\right)=6\cdot\dfrac{1}{2}=3>0$ e $\det(H)=12\cdot\dfrac{1}{2}=6>0$, logo $\left(\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{5}{4}\right)$ é um ponto de mínimo local.