Question

Considere a seguinte aplicação T:R^3⟶R^3 definida por:
T(x,y,z) = (x-3y+z, 3x+5y-z, -x+y+z)

A) Mostre que T(x,y,z) é uma transformação linear;

B) Determine a matriz da transformação linear T.

Answer 1

T:R³-->R³

$T(x,y,z)=(x-3y+z,3x+5y-z,-x+y+z)$

I) Mostrar que 0∈T:

 Tome v=(0,0,0) --> T(v)=0

ii) Seja u,v ∈ R³:

Mostrar que T(u+v)=T(u)+T(v)

$u=(x_1,y_1,z_1)\\v=(x_2,y_2,z_2)\\\\ T(u+v)=(x_1+x_2-3y_1-3y_2+z_1+z_2,3x_1+3x_2+5y_1+5y_2-x_1-x_2,-x_1-x_2+y_1+y_2+z_1+z_2)=\\=(x_1-3y_1+z_1,3x_1+5y_1-z_1,-x_1+y_1+z_1)+(x_2-3y_2+z_2,3x_2+5y_2-z_2,-x_2+y_2+z_2) = T(u)+T(v)$

iii) λ∈R  T(λu)=λT(u)

T(λx,λy,λz)=(λx-3λy+λz,3λx+5λy-λz,-λx+λy+λz)=λ(x-3y+z, 3x+5y-z, -x+y+z)

Logo T é uma transformação Linear.

B) Seja B a base canonica de R³

B={(1,00);(0,1,0);(0,01)}

T(1,0,0)=(1,3,-1)

T(0,1,0)=(-3,5,1)

T(0,0,1)=(1,-1,1)

[T] (matriz da tranformação=$\left[\begin{array}{ccc}T(1,0,0)\\T(0,1,0)\\T(0,0,1)\end{array}\right]$

$[T]=\left[\begin{array}{ccc}1&-3&1\\3&5&-1\\-1&1&1\end{array}\right]$