Question

considere a reta S: y= -3(x-2) e o ponto P=(3,4). considere, ainda s a reta que possa por P e que é perpendicular à reta S. com base nessas informações,Qual o ponto de intercepção nas retas R e S?

Answer 1

Portanto, podemos concluir que a equação geral da reta r, que passa por P e S é perpendicular é $\Large \displaystyle \mathsf{ r: x - 3y + 9 = 0 }$  e  o ponto de intercepção nas retas R e S são:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ Q = \left( \: \dfrac{9}{10 }, ~ \dfrac{33}{10} \: \right) } }$

Inclinação e coeficiente angular ou declividade de uma reta:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m = \tan{\alpha} }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \tan{\alpha} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} }$

Equação da reta de coeficiente angular $\boldsymbol{ \textstyle \sf m }$ e que passa por um ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf P\: (\:x_A - y_A \: ) }$.

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \mathsf{ y - y_A = m \cdot (x - x_A ) } }}$

Equação reduzida da reta.

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \mathsf{ y = mx + n } }}$

Condição de perpendicularismo de duas retas.

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \mathsf{ m_r \cdot m_s = -\:1 ~~ ou ~ ~m_r = -\:\dfrac{1}{m_s} } }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf s: y = -3(x-2) \\ \sf P = (\:3, 4\:) \\ \sf Q = (\: x, y \:) \\ \sf m_r = \:? \\ \sf r: ax +by +c \end{cases} } }$

Primeiro, vamos determinar os coeficientes angular e linear de r e s

usando a equação na forma reduzida.

$\Large \displaystyle \mathsf{ s: y = -3\cdot (x -2) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ s: y = -3x+ 6 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_s = -3 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_s = -\: \dfrac{1}{m_r} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_s = -\: \dfrac{1}{-3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_s = \dfrac{1}{3} }$

Para a reta r, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y- y_A = m_r \cdot (x- x_A) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y- 4 = \dfrac{1}{3} \cdot (x- 3) } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3y- 12 = x- 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x-3 = 3y - 12 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x -3y-3 +12 =0 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r: x -3y + 9 = 0 }$

O enunciado pede o ponto de intercepção nas retas R e S.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf r: y =-3 \cdot (x-2) \\\sf r: x -3y +9 =0 \end{cases} } }$

Aplicando o método da substituição, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = -3 \cdot (x- 2) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = -3x + 6 }$

Substituindo o valor de y na segunda equação, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ x -3y+9 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x- 3 \cdot ( -3x +6) + 9=0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x + 9x -18 + 9=0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 10x -9=0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 10x = 9 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = \dfrac{9}{10} }$

Com o valor de x já encontrado devemos substituir na primeira equação para determinar o valor de y.

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = -3x + 6 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = -3 \cdot \dfrac{9}{10} + 6 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = - \dfrac{27}{10} + \dfrac{60}{10} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = \dfrac{33}{10} }$

Logo, o ponto de intercepção nas retas R e S são:

$\Large\boldsymbol{\displaystyle \sf Q = \left( \: \dfrac{9}{10 }, ~ \dfrac{33}{10} \: \right) }$

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51156772

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto de interseção das retas é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf I = \bigg(\frac{9}{10},\,\frac{33}{10}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} S: y = -3(x - 2)\\P = (3, 4)\\I = \:?\end{cases}$

• Organizando a equação da reta "S", temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} S: y = -3x + 6\end{gathered}$

• Recuperando o coeficiente angular da reta "S":

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{S} = -3\end{gathered}$

• Obtendo o coeficietne angular da reta "s":

       Se as restas "S" e "s" são perpendiculares, então:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \textrm{Se}\:S\perp s\Longrightarrow m_{S}\cdot m_{s} = -1 \Longrightarrow m_{s} = -\frac{1}{m_{S}}\end{gathered} }$

       Então:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{s} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{s} = \frac{1}{3}\end{gathered}$

• Calculando a equação da reta "s". Para isso devemos utilizar a fórmula do "ponto/declividade". Então, temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = m_{s}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = \frac{1}{3}\cdot(x - 3)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 4 = \frac{x}{3} - \frac{3}{3}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{x}{3} - \frac{3}{3} + 4\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{x - 3 + 12}{3}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{x + 9}{3}\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3y = x + 9\end{gathered}$

• Isolando o termo independente da reta "s", temos:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x + 3y = 9\end{gathered}$

• Isolando o termo independente da reta "S", temos:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x + y = 6\end{gathered}$

• Encontrar o ponto de interseção das retas. Para isso devemos resolver o seguinte sistema de equações:

                          $\Large\begin{cases} -x + 3y = 9\\3x + y = 6\end{cases}$

         Isolando "y" na 2ª equação, temos:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 6 - 3x\end{gathered}$

           Inserindo o valor de "y" na 1ª equação, resolvendo e simplificando, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x + 3\cdot(6 - 3x) = 9\end{gathered}$  

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x + 18 - 9x = 9\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x - 9x = 9 - 18\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} -10x = -9\end{gathered}$

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 10x = 9\end{gathered}$

                                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \frac{9}{10}\end{gathered}$

       Calculando o valor de "y", temos:

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 6 - 3\cdot\frac{9}{10}\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 6 - \frac{27}{10}\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{60 - 27}{10}\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{33}{10}\end{gathered}$

✅ Portanto, o ponto de interseção é:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} I = \bigg(\frac{9}{10},\,\frac{33}{10}\bigg)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$