Question

Considere a reta r de equação 5x + 6y = 24 e considere a reta s de equação -9x + 4y = 90.

(a) Determine as coordenadas dos quatro pontos de interseção dessas retas com os eixos coordenados.
(b) Determine as coordenadas do ponto P de interseção dessas duas retas.
(c) Faça um esboço dessas retas em um mesmo plano cartesiano.
(d) Se A é a interseção de s com o eixo x, se B é a interseção da reta r com o eixo y e se O = (0,0) é a origem, calcule a área do quadrilátero AOBP.

Sugestão. Utilize o GeoGebra para explorar essa questão. Em seguida elabore uma solução detalhada, desenvolvendo os cálculos e explicando o seu raciocínio.​

Answer 1

(a) Os quatro pontos são : (0, 4), (24/5, 0), (0, 45/2), (-10,0).

(b) O ponto de interseção P tem coordenadas (-6,9).

(c) Anexo

(d) A área do quadrilátero é 39 + 16 = 57 u.a.

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Como a tarefa não é nada pequena, vamos à sua solução:

(a) Os pontos de interseção das retas com os eixos coordenados são obtidos fazendo x = 0 e y = 0 em cada equação. Sendo assim,

⇒ 5x + 6y = 24;    

• x = 0, 6y = 24 ⇒ y = 4
• y = 0, 5x = 24 ⇒ x = 24/5

⇒ -9x + 4y = 90;    

• x = 0, 4y = 90 ⇒ y = 45/2
• y = 0, -9x = 90 ⇒ x = -10

Logo, os quatro pontos são : (0, 4), (24/5, 0), (0, 45/2), (-10,0).

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(b) A interseção das retas é obtida resolvendo o sistema linear abaixo.

5x + 6y = 24;

-9x + 4y = 90;  

Multiplicando a primeira equação por 9 e a segunda por 5:

45x + 54y = 216;

-45x + 20y = 450;  

Somando as equações:

74y = 576

y = 9

Para x,

5x + 6(9) = 24;

5x + 54 = 24;

5x = -30;

x = -6;

O ponto de interseção P tem coordenadas (-6,9).

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(c) Anexo

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(d) O referido quadrilátero é mostrado na figura. Para o cálculo da sua área, podemos dividi-lo em um trapézio e um triângulo. Tal divisão é feita através da reta x = -6.

Área do trapézio:

(B + b).h/2 = (9 + 4).6/2 = 39 u.a.

Área do triângulo:

B .h/2 = 4.8/2 = 16 u.a.

Logo, a área do quadrilátero é 39 + 16 = 57 u.a.

Até mais!!

Answer 2

a) As coordenadas dos pontos são (0, 4) e (24/5, 0) e (0, 45/2), (-10, 0).

b) O ponto P tem coordenadas (-6, 9).

d) A área do quadrilátero AOBP é igual a 57 unidades de área.

Equações do primeiro grau

Em equações do primeiro grau, o expoente da variável é sempre igual a 1. Esse tipo de equação é dado na forma reduzida y = ax + b, onde a e b são os coeficientes angular e linear, respectivamente.

a) Os quatro pontos de interseção com os eixos ordenados são:

• Reta R: (0, 4) e (24/5, 0)

5·(0) + 6y = 24

6y = 24

y = 4

5x + 6·(0) = 24

5x = 24

x = 24/5

• Reta S: (0, 45/2), (-10, 0)

-9·(0) + 4y = 90

4y = 90

y = 45/2

-9x + 4·(0) = 90

-9x = 90

x = -10

b) O ponto P será dado por:

5x + 6y = 24

-9x + 4y = 90

Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por -3, temos:

10x + 12y = 48

27x - 12y = -270

Somando as equações:

37x = -222

x = -6

Substituindo x:

5·(-6) + 6y = 24

6y = 54

y = 9

O ponto P é (-6, 9).

d) A área do quadrilátero AOBP pode ser dividida em:

• um triângulo de base 4 e altura 9:

A1 = 4·9/2

A1 = 18 u.a.

• um trapézio de bases 4 e 9 e altura 6:

A2 = (4 + 9)·6/2

A2 = 39 u.a.

Aq = 18 + 39

Aq = 57 u.a.

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