Question

Considere a reta r : 2x - y = 0 e os pontos A(1; 0) e B(3; 1).
a) Obtenha um ponto de r que forme com os pontos A e B um triângulo de área 5.
b) Represente este problema geometricamente.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

oi vamos lá, a área é dada por :

$A_{t} = \frac{|D|}{2}$  onde ,

$D = \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\1&0&1\\3&1&1\end{array}\right]$  Determinante dessa matriz, foi resolvido utilizando a regra de sarrus, ok  ? então ficamos assim :

$A_{t} = \frac{|D|}{2}\Rightarrow 5 = \frac{|D|}{2}\Rightarrow |D| = 10\Rightarrow 3y+1-x-y=10\Rightarrow 2y-x=9$

agora encontraremos o ponto de interseção das retas (dada e encontrada)

2x - y = 0

2y - x = 9 ,vamos isolar o y na primeira equação e substituir na segunda

y = 2x, logo 2y - x = 9 ⇒2(2x) - x = 9 ⇒ 4x - x = 9 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3

como y = 2x ⇒ y = 6, assim encontramos o ponto procurado sobre a reta r :  P = (3,6)

Answer 2

Um ponto da reta que forma com A e B um triângulo de área 5 é $(-\frac{11}{3},-\frac{22}{3})$.

Como se formar um triângulo de área 5 com os pontos A e B?

Podemos considerar que o segmento AB é a base do triângulo. A altura será um segmento perpendicular a AB. O comprimento desta base é:

$|AB|=\sqrt{(3-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$

Então, se o triângulo deve ter área 5, o comprimento da altura é:

$5=\frac{AB.h}{2}=\\\\h=\frac{2.5}{AB}=\frac{2.5}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

Por outro lado, podemos calcular a equação da reta que contém aos pontos A e B:

$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\\\\\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-0}{1-0}\\\\x-1=2y\\\\x-2y-1=0$

Como a altura é perpendicular ao segmento AB, é perpendicular a esta reta, como deve ter comprimento $2\sqrt{5}$, devemos encontrar um ponto da reta 2x-y=0 (cujas cordenadas serão (x,2x), pois y=2x), cuja distância à reta que contém ao segmento AB sea essa:

$\frac{x-2(2x)-1}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=2\sqrt{5}\\\\\frac{x-4x-1}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\\\\-3x-1=10\\\\x=-\frac{11}{3}$

A ordenada desse ponto é:

$y=2x=2(-\frac{11}{3})=-\frac{22}{3}$

Saiba mais sobre a equação de uma reta em https://brainly.com.br/tarefa/47855490

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