Question

Considere a região E delimitada pela esfera x²+y²+z²=64 usando coordenadas esféricas determine o volume aproximado dessa região

Answer 1

Para achar o volume V da região E basta calcular a integral tripla

$V = \displaystyle \iiint_E \, dV$

Queremos usar coordenadas esféricas. Assim precisamos descrever E com essas coordenadas. A mudança de variável é

x = ρ cosθ senφ

y = ρ senθ senφ

z = ρ cosφ

Intuitivamente, θ corresponde a longitudes, φ corresponde a latitudes e ρ e a profundidade. Logo para descrever a esfera x²+y²+z² = 8², temos todos os valores de latitude e longitude possíveis e o raio variando de 0 até 8. Ou seja

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ φ ≤ 2π

0 ≤ ρ ≤ 8

Como o jacobiano da mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas é ρ²senφ concluímos que

$V = \displaystyle \iiint_E \, dV = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^8\, \rho^2 \sin \varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta$

Agora basta resolver a integral:

$V = \displaystyle \left( \int_0^{2\pi}\, d\theta \right) \left(\int_0^\pi\sin \varphi \,d \varphi\right) \left(\int_0^8\, \rho^2 \, d\rho\right) = 2\pi \times 2 \times \dfrac{8^3}{3} =\dfrac{2048 \pi}{3}$

Resposta:

O volume da região E é $\dfrac{2048 \pi}{3}$