Question

Considere a parametrização da reta dada por p(t)=(-1+4t, 2-3t). Como obter a equação cartesiana desta reta e obter seu coeficiente angular?

Quem puder ajudar, desde já agradeço!

Answer 1

Se a parametrização da reta é $\vec{p}(t) = (-1+4t, 2-3t)$, podemos escrever:

$\begin{cases}x = -1+4t \\\\ y = 2-3t\end{cases}.$

Podemos resolver ambas as equações em ordem ao parâmetro real $t$:

$\begin{cases}x = -1+4t \\\\ y = 2-3t\end{cases} \iff \begin{cases}x+1 = 4t \\\\ y - 2 = -3t\end{cases}\iff\begin{cases}t = \dfrac{x+1}{4} \\\\ t = -\dfrac{y-2}{3}\end{cases}.$

Portanto, podemos escrever:

$t = \dfrac{x+1}{4} = -\dfrac{y-2}{3} \iff 3(x+1) = -4(y-2) \iff \\\\ \iff 3x + 3 = -4y + 8 \iff \boxed{3x + 4y = 5}.$

A equação cartesiana da reta é então:

$3x + 4y = 5.$

Resolvendo agora em ordem a $y$, obtemos:

$3x + 4y = 5 \iff 4y = -3x + 5 \iff y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4},$

de onde se conclui que o coeficiente angular (declive) é:

$\boxed{m = -\dfrac{3}{4}}.$