Question

Considere a parábola que corta o eixo X em um único ponto de abscissa 1, definida por f(x)= ax^2 + vc + c, com A diferente de 0 e coeficiente reais. Podemos afirmar que.
A) a+b+c=0
B) b^2=4ac
C) f(2)=c
D) a.b.c>0
E) todas estão corretas

Answer 1

A letra A está correta porque:
$y= a \times {1}^{2} + b \times 1 +c$
$y = a + b + c$
Na parábola, nota-se que quando x é 1, y é 0, portanto

$a + b + c \: = 0$
A letra B está correta, porque olhando para parábola o delta é igual a zero, portanto:


$delta = {b}^{2} - 4ac$
$- {b}^{2} = - 4ac \\ {b}^{2} = 4ac$

A letra C está correta porque quando substituímos x por 2:
$f(2) \: = 4a + 2b + c$
Olhando para o gráfico, temos a raíz dupla é 1 e 1, agora usando as relações de Girard, temos que:

Primeira relação:
X1*X2 = c/a

(como são raízes dupla, X1 e X2 valem 1)

1/1 =c/a
a = c

Segunda relação:

X1+X2 = -b/a

1+1 = -b/a
2a = -b
b = -2a

Como na primeira relação a é igual a c, podemos substituir:

b = -2c

Agora vamos substituir na equação f(2):
$f(2) = 4c + 2( - 2c) + c \\ f(2) = 4c - 4c + c \\ f(2)= c$




A letra D está correta porque fazendo o estudo dos coeficientes, tem-se que:
a<0 (concavidade para baixo)
b>0 (porque cruza o eixo y na metade que é crescente)
C<0 (porque C cruza o eixo y na parte negativa)

Você pode escolher valores aleatórios obedecendo as determinações anteriores:

a = -1
b = 1
C = -1

a*b*c = (-1)*(1)*(-1) = +1, portanto o valor de a*b*c é maior do que zero


Resposta: Letra E, todas estão corretas!