Question

Considere a parábola de equação y = x² - 4x + m .
Para que a abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, então m deve ser igual a :

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Paulynha, que a resolução é simples. Pede-se para determinar o valor de "m" na equação do 2º grau abaixo, para que as coordenadas do vértice (abscisssa e ordenada) sejam iguais:

y = x² - 4x + m .

Antes de iniciar, veja que a expressão "y" acima tem os seguintes coeficientes:

a = 1 ---- (é o coeficiente de x²)
b = -4 --- (é o coeficiente de x)
c = m --- (é o termo independente).

Agora note que o "x" do vértice (xv) e o "y" do vértice (yv) são dados pelas seguintes fórmulas:

xv = -b/2a

e

yv = - (b²-4ac)/4a.

Como queremos que a abscissa do vértice seja igual à ordenada, então deveremos ter isto:

-b/2a = - (b²-4ac)/4a ------ agora vamos fazer as devidas substituições (vide coeficientes da função dada)

-(-4)/2*1 = - ((-4)² - 4*1*m))/4*1
4/2 = - (16-4m)/4 ---- ou apenas:
2 = - (16-4m)/4 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*2 = - (16 - 4m)
8 = - (16 - 4m) ----- retirando-se os parênteses, teremos:
8 = - 16 + 4m ----- passando "-16" para o 1º membro, temos:
8 + 16 = 4m
24 = 4m ---- vamos apenas inverter, ficando:
4m = 24
m = 24/4
m = 6 <--- Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "m" para que tenhamos as coordenadas do vértice iguais. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

$Xv=\dfrac{-b}{2a}\\\\Xv=\dfrac{4}{2}\\\\Xv=2$

Xv=2 log Yv=2

$Yv=\frac{-\Delta }{4a}\\\\2=\frac{-\Delta }{4}\\\\8=-\Delta \\\\\Delta = -8$

Encontrando m:

$\Delta =b^{2}-4\cdot a\cdot c\\\\\Delta =(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot m\\\\\Delta =16-4\cdot 1\cdot m\\\\-8=16-4\cdot m\\\\m=6$

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