Question

considere a parábola de equação x² - 6x + 8y - 15 = 0.

(3A) qual dos pontos abaixo é o foco dessa parábola? (foto com as alternativas)

(3B) qual das retas abaixo é a diretriz dessa parábola? (foto com as alternativas)

Answer 1

x²-6x+8y-15=0

y=-x²/8 +6x/8 - 15/8

completando os quadrados

x²-6x-15+8y=0

(x-3)²-9 -15+8y=0

(x-3)² =-8y+24

(x-3)² =-8(y-3)

Vértice=>(3,3)

4p=-8   ==>p=-2  

p ,em módulo |p| ,é a distância entre o vértice e o foco e também é  a distância entre a reta diretriz e o vértice.

==> Foco (3,3-2))=(3,1)

F=(3,1)

V=(3,3)

==> Reta diretriz

y+p=3 ==>y=3+2=5

d: y=5

Answer 2

Equação geral da parábola:

• $\sf 4p\left(y-k\right)=\left(x-h\right)^2$ é a equação geral da parábola de eixo vertical, com vértice em  $\sf (h,h),$ e distância focal  $\sf |p|$

$\sf x^2-6x+8y-15=0\\\\\\\sf 4\left(-2\right)\left(y-3\right)=\left(x-3\right)^2\\\\\\\sf Portanto,\:as\:propriedades\:da\:par\acute{a}bola\:são:\\\\\\\boxed{\sf \left(h,\:k\right)=\left(3,\:3\right),\:p=-2 }$

Foco:

$\sf \boxed{\begin{array}{lr}\sf Uma\:par\acute{a}bola\:\acute{e}\:o\:espaço\:de\:pontos\:tal\:que\:a\:dist\^{a}ncia\:a\:um\:ponto\\\\\sf \left(o\:foco\right)\:equivale\:\acute{a}\:dist\^{a}ncia\:a\:uma\:reta\:\left(a\:diretriz\right)\end{array}}$

$\sf 4\left(-2\right)\left(y-3\right)=\left(x-3\right)^2\\\\\\\sf \left(h,\:k\right)=\left(3,\:3\right),\:p=-2\\\\\\\sf \boxed{\begin{array}{lr}\sf A\:par\acute{a}bola\:\acute{e}\:sim\acute{e}trica\:ao\:redor\:do\:eixo\:y\:\left(ordenadas\right)\:e,\:portanto,\:o\:foco\:estabelece\\\\\ \sf uma\:dist\^{a}ncia\: p\:do\:centro\:\left(3,\:3\right)\:ao\:longo\:do\:eixo\:y\:\left(ordenadas\right)\end{array}}$

$\sf \left(3,\:3+p\right)\\\\\\\sf \left(3,\:3+\left(-2\right)\right)\\\\\\\boxed{\sf \left(3,\:1\right)}$

Diretriz:

$\sf 4\left(-2\right)\left(y-3\right)=\left(x-3\right)^2\\\\\\\sf \left(h,\:k\right)=\left(3,\:3\right),\:p=-2$

$\boxed{\begin{array}{lr}\sf A\:par\acute{a}bola\:\acute{e}\:sim\acute{e}trica\:ao\:redor\:do\:eixo\:y\:\left(ordenadas\right)\:e,\:portanto,\:a\:diretriz\:\acute{e}\:uma\:reta\:paralela\:ao\\\\\sf x\:\left(abscissas\right),\:uma\:dist\^{a}ncia\:-p\:do\:centro\:\left(3,\:3\right)\:no\:eixo\:y\:\left(ordenadas\right)\end{array}}$

$\sf y=3-p\\\\\\\sf y=3-\left(-2\right)\\\\\\\boxed{\sf y=5}$