Question

Considere a mudança de coordenadas x = u cos(v), y = sen(v) e z = w . Então, o determinante do jacobiano para esta mudança de coordenadas é:
Escolha uma:
a. 1
b. v
c. -1
d. u
e. 0

Answer 1

Temos a mudança de coordenadas:

$\begin{cases}x = u \cos v \\ y = \sin v \\ z=w\end{cases}.$

A matriz jacobiana é dada por:

$J = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w} \\\\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w} \\\\ \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{bmatrix},$

onde:

$\begin{cases}\dfrac{\partial x}{\partial u} = \cos v \quad \dfrac{\partial x}{\partial v} = -u\sin v \quad \dfrac{\partial x}{\partial w} = 0 \\\\ \dfrac{\partial y}{\partial u} = 0 \;\;\qquad \dfrac{\partial y}{\partial v} = \cos v \;\qquad \dfrac{\partial y}{\partial w} = 0 \\\\ \dfrac{\partial z}{\partial u} = 0 \;\;\qquad \dfrac{\partial z}{\partial v} = 0 \:\:\:\:\:\:\:\:\qquad \dfrac{\partial z}{\partial w} = 1\end{cases}.$

Assim, a matriz jacobiana é:

$J = \begin{bmatrix} \cos v & -u\sin v & 0 \\\\ 0 & \cos v  & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$

O determinante jacobiano é então dado por:

$|J| = \begin{vmatrix} \cos v & -u\sin v & 0 \\\\ 0 & \cos v  & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \cos^2 v.$

Uma vez que este não corresponde a nenhuma das opções, parece-me que a mudança de coordenadas não é a indicada. Por exemplo, se fosse $y = u \sin v$, então teríamos coordenadas cilíndricas. Nesse caso, teríamos:

$J = \begin{bmatrix} \cos v & -u\sin v & 0 \\\\ \sin v & u\cos v  & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \implies |J| = \begin{vmatrix} \cos v & -u\sin v & 0 \\\\ \sin v & u\cos v  & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \\\\\\ = \begin{vmatrix} \cos v & -u\sin v \\\\ \sin v & u\cos v \end{vmatrix} = u\cos^2 v - (-u\sin^2 v) = u\underbrace{(\cos^2 v + \sin^2 v)}_{=1} = u.$

A resposta nesse caso seria a d. Por favor confirme o enunciado.

Answer 2

Resposta:

Letra d: u

Explicação passo a passo:

CORRIGIDO PELO AVA