Question

Considere a matriz A2x2= 4 0
............................................ -5 7
apresente a matriz A-K.I onde Ke [] e I é a matriz identidade de segunda ordem.
quais os valores de K tomam nulo o determinante da matriz A-K.I?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Samysta, que se "k" é um escalar, então a resolução é simples.
Tem-se: quais os valores de "k" que tornam nulo i determinante da matriz formada por: A - k*I, sendo "A" a matriz abaixo (de ordem "2"), sendo "k" um escalar e sendo "I" a matriz identidade de ordem "2":

A = |4.....0|
.......|-5....7|

Agora vamos ao que está sendo pedido, que é encontrar a matriz resultante de: A - k*I . Assim, teremos:

A - k*I = |4.....0| - k*|1.....0| 
..............|-5....7| - ...|0......1| ---- efetuando o produto pelo escalar "k", temos:

A - k*I = |4.....0| - |k*1....k*0| 
..............|-5....7| - |k*0....k*1|

A - k*I = |4.....0| - |k.....0|
..............|-5....7| - |0.....k| ---- efetuando a subtração pedida, teremos;

A - k*I = |4-k.....0-0| = |4-k......0|
..............|-5-0....7-k| = |-5.....7-k| ------ Esta é a matriz resultante.

Agora vamos para o que está sendo pedido. Queremos que o determinante da matriz resultante acima seja igual a "0". Então calculando o determinante da matriz resultante acima e igualando-o a zero, teremos:

(4-k)*(7-k) - (-5)*0 = 0 ------- desenvolvendo os produtos indicados, ficaremos:
28 - 11k + k² + 5*0 = 0  ---- ou apenas:
28 - kk1 + k² + 0 = 0 ----- ou ainda:
28 - 11k + k² = 0 ---- vamos apenas ordenar, ficando:
k² - 11k + 28 = 0 ------ Se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

k' = 4
k'' = 7

Assim, "'k" deverá ser um dos dois valores acima, para que o determinante da matriz resultante seja igual a "0".

A propósito, veja se a nossa resposta "bateu" com a resposta do gabarito da questão, ok? 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.