Question

Considere a matriz A = [aij], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir. aij = 1, se i ≠ j e aij = 0,se i = j
É correto afirmar que:
a) Na matriz A, o elemento a23 é igual ao elemento a32.
b) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.
c) Se a matriz B é(1 -1 1 -1) então o produto B.A é a matriz -B.
d) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A + I possui todos os elementos iguais a 1.

Answer 1

a)
Para o elemento "a₂₃" temos que "i = 2" e "j = 3", logo temos que "i ≠ j", portanto, "a₂₃ = 1"

Para o elemento "a₃₂" temos que "i = 3" e "j = 2", logo temos que "i ≠ j", portanto,"a₃₂ = 1"

Logo, temos que "a₂₃ = a₃₂"

Portanto, a afirmativa do item "a" está correta.



b)
Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são caracterizados por "i = j", logo pela definição da matriz, temos que todos os elementos da diagonal principal são nulo.

Portanto, a afirmativa do item "b" está correta.



c)
Vamos realizar a multiplicação.

$B*A=\\\\ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\end{array}\right] * \left[\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{array}\right] =\\\\\\\\(B*A)_{11}=(1*0)+(-1*1)+(1*1)+(-1*1)=0-1+1-1=-1\\\\(B*A)_{12}=(1*1)+(-1*0)+(1*1)+(-1*1)=1-0+1-1=1\\\\(B*A)_{13}=(1*1)+(-1*1)+(1*0)+(-1*1)=1-1+0-1=-1\\\\(B*A)_{14}=(1*1)+(-1*1)+(1*1)+(-1*0)=1-1+1-0=1\\\\\\B*A=\left[\begin{array}{cccc}-1&1&-1&1\end{array}\right] =-B$

Portanto, a afirmativa do item "c" está correta.



d)
Vamos realizar a adição.

$A+I=\\\\ \left[\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{array}\right] +\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{array}\right]$

Portanto, a afirmativa do item "d" está correta.

Answer 2

É correto afirmar que: na matriz A, o elemento a₂₃ é igual ao elemento a₃₂; Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos; Se a matriz B é [1 -1 1 -1], então o produto B.A é a matriz -B.

Uma matriz de ordem 4 é igual a $A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right]$.

O enunciado nos informa que:

• Se o número da linha for diferente do número da coluna, então o elemento é 1.

• Se o número da linha for igual ao número da coluna, então o elemento é igual a 0.

Observe que o número da linha é igual ao número da coluna nos elementos da diagonal principal: a₁₁, a₂₂, a₃₃ e a₄₄.

Logo, eles são iguais a 0 e os outros elementos são iguais a 1.

a) Assim, é verdade que o elemento a₂₃ é igual ao elemento a₃₂.

b) Como visto acima, os elementos da diagonal principal são todos nulos.

c) A matriz A é igual a $A=\left[\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{array}\right]$.

Multiplicando a matriz $B=\left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\end{array}\right]$ pela matriz A, obtemos:

$B.A = \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\end{array}\right].\left[\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{array}\right]$

$B.A = \left[\begin{array}{cccc}-1&1&-1&1\end{array}\right]$.

A afirmativa está correta.

d) Somando a matriz A com a matriz identidade, obtemos:

$A+I=\left[\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]$

$A+I=\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{array}\right]$.

A afirmativa está errada.

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