Question

Considere a matriz A = [4 0] parte de baixo [-5 7]

apresente a matriz A - K . I , onde k e [] e I é a matriz identidade de 2a ordem.

quais valores de k tornam nulo o determinante da matriz A -K . I ?

Marque a alternativa que responde aos itens anteriores, respectivamente.

Segue anexo da pergunta para auxiliar. Com as letras de Múltipla Escolha

Answer 1

Olá

Alternativa correta, letra C)

A - K.I = 0

sendo "A" a matriz dada no enunciado, "K" uma constante pertencente ao reais, e "I" a matriz identidade

A matriz identidade tem esse formato

 $I= \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$


Vamos começar

$\left[\begin{array}{ccc}4&0\\-5&7\\\end{array}\right] ~-~K\cdot\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \text{Primeiro, multiplica o K pela matriz identidade} \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}4&0\\-5&7\\\end{array}\right] ~-~\left[\begin{array}{ccc}K\cdot1~~&K\cdot0\\K\cdot0~~&K\cdot1\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}4&0\\-5&7\\\end{array}\right] ~-~\left[\begin{array}{ccc}K~~&0\\0~~&K\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \text{Agora subtrai da matriz A}$
$\left[\begin{array}{ccc}4-K~~&0-0\\-5-0~~&7-k\\\end{array}\right] \\ \\ \\ \boxed{\left[\begin{array}{ccc}4-K~~&0\\-5~~&7-k\\\end{array}\right]}~~~~\longleftarrow~ ~~ \text{Primeira resposta} \\ \\ \\ \text{Agora, temos que calcular o determinante da matriz que encontramos} \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}4-K~~&0\\-5~~&7-k\\\end{array}\right] \\ \\ \\ ((4-k)\cdot(7-k))~- ~(-5\cdot 0) \\ \\ \text{Aplica a distributiva} \\ \\ (28-4k-7k+k^2)~-~0$
$\text{Agrupa os termos em comum e iguala a zero}\\ \\ k^2-11k+28=0 \\ \\ \text{Caimos em uma funcao do segundo grau} \\ \\ \text{Resolve por bhaskara} \\ \\ \triangle=(-11)^2-4\cdot(1)\cdot(28)\\\triangle=121-112 \\ \triangle=9 \\ \\ \\ \displaystyle X= \frac{-b\pm \sqrt{\triangle} }{2\cdot a}$
$\displaystyle X_1= \frac{11+ \sqrt{9} }{2\cdot(1)} ~\longrightarrow X_1= \frac{11+3}{2} ~~\longrightarrow~X_1= \frac{14}{2} ~~\longrightarrow~~\boxed{X_1=7} \\ \\ \\ X_2=\frac{11- \sqrt{9} }{2\cdot(1)} ~\longrightarrow X_2= \frac{11-3}{2} ~~\longrightarrow~X_2= \frac{8}{2} ~~\longrightarrow~~\boxed{X_2=4}$

Então, para que o determinante da matriz A-K.I seja nulo (zero), K tem que ser

K=4 ou K=7