Question

CONSIDERE A MATRIZ
A= [ -2 1
12 -1]

DE ACORDO COM A MATRIZ DADA ACIMA, ANALISE AS ALTERNATIVAS E ASSINALE AQUELA QQUE APRESENTA UM AUTOVETOR DE A ASSOCIADO AO AUTOVETOR ⊥=2:

Av= ⊥v

A) [ -1 3]
B)[ 1 0 ]
C)[ 7 4 ]
D)[ 3 5]
E) [ 1 4]

Answer 1

Resposta:

(1,4)

Explicação passo-a-passo:

Como é de marcar você pode só testar cada uma das alternativas:

a)

$\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 12 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 5\\ -15 \end{array} \right]$

Logo nao é autovetor

b)

$\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 12 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -2\\ 12 \end{array} \right]$

Também não é

c)

$\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 12 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 7 \\ 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -10\\ 80 \end{array} \right]$

também não

d)

$\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 12 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -1\\ 31 \end{array} \right]$

também não

e) por eliminação esse tem que ser. De fato:

$\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 12 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2\\ 8 \end{array} \right] =2 \left[ \begin{array}{c} 1\\ 4 \end{array} \right]$

Outra maneira (na verdade, o que espera-se que seja feito nessa questão) é calcular os autovetores da matriz. No caso já sabemos que 2 é autovalor. Procuramos os vetores v = (x,y) que satisfazem

Av = 2v. Ou seja, (A-2I)v = 0. Resolvendo fica

$\left[ \begin{array}{cc} -2 -2& 1 \\ 12 & -1-2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right] \implies y = 4x$

Ou seja, os autovetores são da forma v = (x,4x) = x(1,4). Logo, todos são múltiplos de (1,4).