Question

considere a matriz A= 1 -1  2  . Determine se possível a A-¹  (Inversa )
                                -1  3  1
                                 1  1  4

Answer 1

Qualquer matriz A só possui inversa se o determinante dela for diferente de 0. Calculando-o encontramos:

$\ \ \ \ 1 \hspace{1,22cm} 4 \\ \left| \begin{array}{ccc}1&-1&2\\-1&3&1\\1&1&4\end{array}\right| \\ { \ \ \ \ 1 \hspace{1,22cm} 2$ $=-1+12-2-1-6-4 \Rightarrow det(A)=-2$

Agora que temos o determinante de A é só calcular a matriz adjunta de A; ela é a transposta da matriz dos cofatores. Caso não lembra, revisão rápida:

$A = \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]; \ A' = \left[\begin{array}{ccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{array}\right]; \ \overline{A}=(A')^t$

onde $A_{ij}$ é o cofator do elemento $a_{ij}$. Calculando $\overline{A}$, que é a matriz adjunta de A, encontramos:

$A'= \left[\begin{array}{ccc}7&5&-4\\6&2&-2\\-7&-3&2\end{array}\right] \Rightarrow \overline{A}= \left[\begin{array}{ccc}7&6&-7\\5&2&-3\\-4&-2&2\end{array}\right]$

Agora encontraremos a inversa multiplicando a adjunta, que acabamos de encontrar, pelo inverso do determinante de A:

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}.\overline{A} \Rightarrow A^{-1}= \frac{-1}{2} \left[\begin{array}{ccc}7&6&-7\\5&2&-3\\-4&-2&2\end{array}\right] \\ \\ \boxed{A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc}-7/2&-3&7/2\\-5/2&-1&3/2\\2&1&-1\end{array}\right] }$


Uma explicação disso tá detalhada entre as páginas 119 e 123 do volume 4 do Fundamentos de Matemática Elementar.

Desculpa essas notações loucas, esses nomes esquisitos, mas foi a única forma que encontrei =/