Matemática, perguntado por joaozinho1510, 1 ano atrás

Considere a integral em coordenadas polares:

Qual a resposta que esta correta em anexo

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
7
Transformar para coordenadas cartesianas:

I=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_0^2{r\,dr\,d\theta}


Como \theta varia em uma volta completa, a região de integração contém pontos nos quatro quadrantes.


Como r varia entre extremos fixos (constantes), concluímos que a região de integração  no plano xy é o círculo de centro na origem e raio 2:

x^2+y^2\le 2^2\\\\ x^2+y^2\le 4

__________________

Para escrever a integral iterada na ordem dy\,dx, devemos ter

\bullet~~x variando entre extremos fixos:

-2\le x\le 2


\bullet~~y variando entre duas funções de x:

y vai variar entre duas semicircunferências:

x^2+y^2=4\\\\ y^2=4-x^2\\\\ y=\pm \sqrt{4-x^2}


Logo, devemos ter

-\sqrt{4-x^2}\le y\le \sqrt{4-x^2}

_________________

O módulo do Jacobiano da transformação inversa é |\mathrm{Jac\,}\phi|=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}.

_________________

A função integrando também sofrerá transformação:

g(r,\;\theta)=f(x,\;y)\\\\ r=\sqrt{x^2+y^2}\\\\\ \therefore~~\boxed{f(x,\;y)=\sqrt{x^2+y^2}}

_______________

Reescrevendo a integral em coordenadas cartesianas, temos que

\displaystyle\iint_{D_{r,\,\theta}}g(r,\,\theta)\,dr\,d\theta\\\\\\ =\iint_{D_{x,\,y}}f(x,\,y)\cdot |\mathrm{Jac\,}\phi|\,dy\,dx\\\\\\ =\iint_{D_{x,\,y}}\sqrt{x^2+y^2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy\,dx\\\\\\ =\iint_{D_{x,\,y}}{dy\,dx}\\\\\\ =\int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}{dy\,dx}


joaozinho1510: isso aew muito bom obrigado
Lukyo: Por nada! :-)
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