Question

Considere a integral em coordenadas polares:

Qual a resposta que esta correta em anexo

Answer 1

Transformar para coordenadas cartesianas:

$I=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\int_0^2{r\,dr\,d\theta}$


Como $\theta$ varia em uma volta completa, a região de integração contém pontos nos quatro quadrantes.


Como $r$ varia entre extremos fixos (constantes), concluímos que a região de integração  no plano $xy$ é o círculo de centro na origem e raio $2:$

$x^2+y^2\le 2^2\\\\ x^2+y^2\le 4$

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Para escrever a integral iterada na ordem $dy\,dx,$ devemos ter

$\bullet~~x$ variando entre extremos fixos:

$-2\le x\le 2$


$\bullet~~y$ variando entre duas funções de $x:$

$y$ vai variar entre duas semicircunferências:

$x^2+y^2=4\\\\ y^2=4-x^2\\\\ y=\pm \sqrt{4-x^2}$


Logo, devemos ter

$-\sqrt{4-x^2}\le y\le \sqrt{4-x^2}$

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O módulo do Jacobiano da transformação inversa é $|\mathrm{Jac\,}\phi|=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

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A função integrando também sofrerá transformação:

$g(r,\;\theta)=f(x,\;y)\\\\ r=\sqrt{x^2+y^2}\\\\\ \therefore~~\boxed{f(x,\;y)=\sqrt{x^2+y^2}}$

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Reescrevendo a integral em coordenadas cartesianas, temos que

$\displaystyle\iint_{D_{r,\,\theta}}g(r,\,\theta)\,dr\,d\theta\\\\\\ =\iint_{D_{x,\,y}}f(x,\,y)\cdot |\mathrm{Jac\,}\phi|\,dy\,dx\\\\\\ =\iint_{D_{x,\,y}}\sqrt{x^2+y^2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy\,dx\\\\\\ =\iint_{D_{x,\,y}}{dy\,dx}\\\\\\ =\int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}{dy\,dx}$