Question

Considere a hipérbole H e a parábola T,
cujas equações são, respectivamente,

$5 {(x + 3)}^{2} -4 {(y - 2)}^{2}=-20 \\ {(y - 3)}^{2} = 4(x-1).$
Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma
dos quadrados das distâncias de P a cada um dos
focos da hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da
distância de P ao vértice da parábola T, é...?

Answer 1

Colocando a hipérbole na forma padrão:

$-\frac{(x+3)^{2}}{2^{2}} + \frac{(y-2)^{2}}{ \sqrt{5}^{2}}=1$

Da equação, encontramos o centro C = (-3,2) e como o termo x é negativo, podemos inferir que a hipérbole tem abertura vertical (em y).

Vamos calcular a distância focal da hipérbole:

$F= \sqrt{ a^{2}+ b^{2} } = \sqrt{ 2^{2}+ \sqrt{5}^{2} }= \sqrt{9}= 3$

Somamos à ordenada do centro da hipérbole para encontrar o foco F1:

$2 + 3= 5$

Então:

$F_{1}=(-3, 5)$

Subtraímos da ordenada do centro da hipérbole para encontrar o foco F2:

$2 - 3= -1$

Então:

$F_{2}=(-3, -1)$

Da equação da parábola, sabemos que o vértice é:

$V=(1,3)$

Chamando a distância PF1 de "f", a distância PF2 de "g" e a distância PV de "h", o enunciado diz que:

$f^{2} + g^{2} =3 h^{2}$

Sabemos que a distância entre dois pontos A e B é dada por:

$d_{AB} = \sqrt{ ( x_{2}- x_{1}) ^{2}+ ( y_{2}- y_{1}) ^{2} }$

Então:

$(-3-x)^{2}+(5-y)^{2}+(-3-x)^{2}+(-1-y)^{2}=3[(1-x)^{2}+(3-y)^{2}]$

Temos, então, a forma padrão de uma circunferência:

$\frac{1}{120} (x-9)^{2}+ \frac{1}{120}(y-5)^{2}=1$

Logo, o lugar geométrico de todos os pontos P que correspondem à relação de distâncias é uma circunferência cujo centro C e raio r são:

$C=(9,5)$

$r=2 \sqrt{30}$

Espero ter ajudado!