Matemática, perguntado por jpprintes, 11 meses atrás

Considere a função z= f(x,y) = x^2+3xy^2 - 2y^3x^3. Determine a equação do plano tangente à superficie no ponto P (1, 2, -3).

Soluções para a tarefa

Respondido por EinsteindoYahoo

Resposta:

O vetor gradiente de uma função em um ponto (xo, yo, zo), denotado por ∇f(xo,yo,zo), é um vetor normal à superfície que representa essa função no ponto de tangência. Calculemos ∇f(1,2,-3):

Escreva a superfície de maneira implícita, ou seja, faça F(x,y,z)=0

z= f(x,y) = x^2+3xy² - 2y^3x³

x^2+3xy² - 2y³x³ - z = 0

∇f(xo,yo,zo) = [∂f/∂x(xo,yo,zo), ∂f/∂y(xo,yo,zo), ∂f/∂z(xo,yo,zo)]

∇f(1,2,-3) = [∂f/∂x(1,2,-3), ∂f/∂y(1,2,-3), ∂f/∂z(1,2,-3)]

∇f(1,2,-3) = [(2x+3y²-6y³x²)(1,2,-3), (6xy-6y²x³)(1,2,-3), (-1)(1,2,-3)]

∇f(1,2,-3) = [(2+12-6*(8)*1),(6*1*2-6*2²*1)-1]

∇f(1,2,-3) = (-34,-12,-1).

Seja (x,y,z) um ponto qualquer do plano procurado , então:

v = (x-(-34), y-(-12), z-(-1)) é um vetor deste plano.

Por outro lado, seja v = (x+34, y+12, z+1) um vetor do plano tangente à superfície. Como o gradiente é normal à superfície no ponto, então qualquer vetor v = (x+34, y+12, z+1) do plano tangente à superfície é perpendicular ao vetor gradiente. Ou seja, o produto escalar do vetor gradiente por esse vetor v do plano será nulo, já que são perpendiculares:

< ∇f, v > = 0

< (-34,-12,-1),(x+34, y+12, z+1) > = 0

(-34)*(x+34) -12*(y+12) -1*(z+1)=0

-34x-1156-12y-144 -z-1 =0

-34x-12y-z-1301=0

34x+12y+z+1301=0 é a resposta

jpprintes: amigo, abrigado.

jpprintes: só me ajude nas opções da questão: A) z+34x+12y+55=0; B) z+34y+12x=55; C) z-34x-12y=55; D) z+34x+12y=55

Respondido por solkarped

✅ Após realizar os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 34x + 12y + z = 55\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} z = f(x, y) = x^{2} + 2xy^{2} - 2y^{3}x^{3}\\P = (1, 2, -3)\end{cases}$

Organizando a equação, temos:

$\Large\begin{cases} s: x^{2} + 3xy^{2} - 2y^{3}x^{3} - z = 0\\P = (1, 2, -3)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície devemos ter um ponto pertencente à superfície e um vetor normal passando pelo ponto, ou seja:

$\Large\begin{cases} P = (X_{P},\,Y_{P},\,Z_{P})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n},\,Y_{n},\,Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano tangente utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$}$

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

Verificar se o ponto "P" pertence à superfície "s". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "P" na equação da superfície. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1^{2} + 3\cdot1\cdot2^{2} - 2\cdot2^{3}\cdot1^{3} - (-3) = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1 + 12 - 16 + 3 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$}$

Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o ponto "P" pertence à referida superfície. Então, podemos continuar com os cálculos.

Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "x".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial s}{\partial x} = 2x + 3y^{2} + -6y^{3}x^{2}\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "y".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial s}{\partial x} = 6xy - 6y^{2}x^{3}\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "z".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial s}{\partial x} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\end{gathered}$}$

Montar o vetor gradiente.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \nabla s(x, y, z) = \left(\frac{\partial \rho}{\partial x},\,\frac{\partial \rho}{\partial y},\,\frac{\partial \rho}{\partial z}\right)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (2x + 3y^{2} - 6y^{3}x^{2}, 6xy - 6y^{2}x^{3}, -1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\nabla s(x, y, z) = (2x + 3y^{2} - 6y^{3}x^{2}, 6xy - 6y^{2}x^{3}, -1)\end{gathered}$}$

Montar o vetor normal do plano pelo ponto "P".

Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "P", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla s(P)\end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (2\cdot1 + 3\cdot2^{2} - 6\cdot2^{3}\cdot1^{2}, 6\cdot1\cdot2 - 6\cdot2^{2}\cdot1^{3}, -1)\end{gathered}$}$