Question

CONSIDERE a função y = x2 + (k - 1)x - 6.
A) Sendo 2 uma de suas raízes, DETERMINE o valor de k.
B) Qual é o outro zero dessa função?​

Answer 1

Explicação:

Função do 2º Grau ou Função Quadrática

A função do 2º grau (também chamada de função quadrática) traz o expoente 2 em sua incógnita, sendo escrita por meio da função f(x) = ax² + bx + c. Para que essa função seja válida, é necessário que a, b e c pertençam ao conjunto dos números reais e a deve ser diferente de zero.

Veja também: Função no Enem

Definição

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A equação do 2º grau é determinada pelo expoente 2 que estiver na incógnita. Por exemplo:

x² + 5x + 8 = 0 (equação do 2º grau)

x² + 9 = 0 (equação do 2º grau)

A forma de encontrar o valor da incógnita x na equação de 2º grau é mediante a fórmula de Bhaskara.

A fórmula de Bhaskara é utilizada para resolver a função do 2º grau.

A fórmula de Bhaskara é utilizada para resolver a função do 2º grau.

Bhaskara foi um matemático (professor, astrólogo, astrônomo) muito dedicado, depois de vários estudos ele nos trouxe, de forma bem resumida, a solução geral da equação do 2º grau, que se resume basicamente em:

x = – b ± √Δ

2a

Δ = b2 – 4·a·c

Mas de onde vieram as letras a, b e c que estão descritas na fórmula? É só analisar a equação em si:

ax² + bx + c = 0

Assim, a representa qualquer número que esteja multiplicando x², b é o número que multiplica a incógnita x e c é o número sozinho.

Cada equação apresenta uma característica quando representada em um gráfico. A equação do 1º grau, por exemplo, é uma reta, portanto, ela encontra o eixo x apenas em um ponto (justamente o valor de “x” encontrado na equação). Já a equação do 2º grau tem a característica de ser uma parábola, encontrando em dois pontos do eixo x, por isso, temos duas respostas da equação e as chamamos de raízes da função.

Sendo uma parábola, é necessário encontrar os valores do vértice, ou seja, o “ponto de virada” da parábola.

O x do vértice é dado pela fórmula:

Xv = – b

2a

E o y do vértice é o resultado da fórmula:

Yv = – Δ

4a

Leia também: Diferenças entre função e equação

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Na prática, funciona da seguinte forma:

Exemplo 1:

x² + 2x – 4 = 0

Passo 1: Identificar a, b e c:

a = 1

b = +2

c = –4

Passo 2: Achar o valor de Δ na fórmula:

Δ= b² – 4ac

Δ= 2² – 4.2.(–4)

Δ = 4 – 8.(–4)

Δ = 4 + 32

Δ = 36

Passo 3: Encontrar os valores de x (as raízes da função):

x = – b ± √Δ

2a

x = – (+2) ± √36

2.1

x = – 2 ± 6

2

x’= – 2 + 6

2

x’= 4

2

x’= 2

x”= – 2 –6

2

x’’= – 8

2

x”= – 4

Passo 4: Encontrar x e y do vértice:

Xv = – b

2a

Xv = – 2

2.1

Xv = – 2

2

Xv = – 1

Yv = – 36

4.1

Yv = – 36

4

Yv = – 9

Passo 5: Montar o gráfico da função:

Com os valores de x’ = 2; x” = –4; Xv = –1; Yv = –9, a parábola fica da seguinte forma:

Obs.: Quando o sinal que acompanha a incógnita x² for positivo, é uma parábola que está com a concavidade voltada para cima.

Exemplo 2:

–2x² – 2x + 12 = 0

Passo 1: Identificar a, b e c:

a = –2

b = –2

c = 12

Passo 2: Achar o valor de Δ na fórmula:

Δ= b² – 4ac

Δ= (–2)² – 4.(–2).(12)

Δ = 4 – 4.(–24)

Δ = 4 + 96

Δ = 100

Passo 3: Encontrar os valores de x (as raízes da função):

x = – b ± √Δ

2a

x = – (+2) ± √100

2.(–2)

x = – 2 ± 6

–4

x’ = 2 + 10

–4

x’ = 12

–4

x’ = –3

x” = – 2 –10

–4

x’’ = – 12

–4

x’ = 3

Passo 4: Encontrar x e y do vértice:

Xv = – b

2a

Xv = – (– 2)

(–2)

Xv = – 1

Yv = – 100

4.(–2)

Yv = – 100

(–8)

Yv = + 12,5

Passo 5: Montar o gráfico da função:

Com os valores de x’ = –3; x” = 3; Xv = –1; Yv =12, 5, a parábola fica da seguinte forma:

Obs.: Quando o sinal que acompanha a incógnita x² for negativo, é uma parábola que está com a concavidade voltada para baixo.

Leia mais: Relação entre os coeficientes e o gráfico de uma função do segundo grau

Exercícios resolvidos sobre função do 2º grau:

1) Analise a seguinte equação, encontre suas raízes e monte o gráfico.

3x² – 4x – 13 = 0

Resolução

Passo 1: Identificar a, b e c:

a = 3

b = –4

c = –13

Passo 2: Achar o valor de Δ na fórmula:

Δ= b² – 4ac

Δ= (–4)² – 4.(3).( –13)

Δ = 16 + 156

Δ = 172

Passo 3: Encontrar os valores de x (as raízes da função):

x = – b ± √Δ

2a

x = – (–4) ± √172

2.(3)

x = 4 ± 13,11

6

x’ = 4 + 13,11

6

x’ = 17,11

6

x’ = 2,851

x” = 4 –13,11

6

x’’ = 9,11

6

x’ = 1,518

Passo 4: Encontrar x e y do vértice:

Xv = – b

2a

Xv = – (– 4)

2(3)

Xv = – (– 4)

6

Xv = 4

6

Xv = 0,666

Yv = – 172

4.3

Yv = – 172

12

Yv = – 14,33