Question

Considere a função u(x,y)=x³-3xy². A função conjugada harmônica v que verifica v(0,0)=2 é:
Escolha uma:
a. v(x,y)=4x+3y+2
b. v(x,y)=3x²y-y³+2
c. v(x,y)=3xy+y³+2
d. v(x,y)=3xy-y³
e. v(x,y)=3x²y+y³+2

Answer 1

             $\displaystyle v_x=u_y\to v_x=-6xy\to v=\int-6xy \;dx=-3x^2y+\phi(y)\\ \\ v_y=u_x\\ \\ -3x^2+\phi'(y)=3x^2-3y^2\\ \\ \phi'(y)=6x^2-3y^2\\ \\ \phi(y)=6x^2y-y^3+C\\ \\ \\ \text{ent\~ao: }v=3x^2y-y^3+C\\ \\ v(0,0)=2\\ \\ C=2\\ \\ \boxed{v(x,y)=3x^2y-y^3+2}$