Question

Considere a função
.
Seja ainda f’(x) a sua derivada dentro das condições de existência. Desta forma analise os itens abaixo.

I. Temos f’(2) = f’(4)
II. f’(x) > 0 para todo valor de x.
III. f’(x) é uma parábola.
IV. f’(x) > f(x) para qualquer x em seu domínio.

É correto o que se afirma em:

Answer 1

Resposta:

I V, II F, III F, IV F.

Explicação passo-a-passo:

f(x)=$\frac{2}{x-3}=2(x-3)^{-1}$

Sabemos que:

$ax^{n} = anx^{n-1}$

Se chamarmos (x-3) de u temos que:

$f(u) = 2u^{-1}$

u = x-3

$\frac{du}{dx}=1$

du=dx

$\frac{df(u)}{du}= -2u^{-2}$

u = x-3

$\frac{df(x)}{dx}=-2(x-3)^{-2}$

f'(x)=$-2(x-3)^{-2}$

I.

f'(2)=$-2(2-3)^{-2}=-2(-1)^{-2}=\frac{-2}{(-1)^2}=\frac{-2}{1}=-2$

f'(4)=$-2(4-3)^{-2}=-2(1)^{-2}=\frac{-2}{1^{2}}=-2$

Logo f'(2)=f'(4), I Verdadeiro.

II.

Como vimos no exercício I, f'(2) e f'(4) = -2, -2 < 0, logo a afirmativa  f'(x) > 0 é falsa, II é Falso.

III.

Parábolas são funções do tipo $ax^2+bx+c$, como nossa função é da família das $x^{-2}$, f'(x) não é uma parábola, III é Falso.

IV.

Se f'(x) for maior para todo x que f(x), g(x)=f'(x)/f(x) deverá ser maior ou igual a 1 para todo o x.  

$g(x) =\frac{f'(x)}{f(x)} =-\frac{2(x-3)^{-2}}{2(x-3)^{-1}} = -\frac{2(x-3)}{2(x-3)^{2}}=-\frac{1}{x-3}$

Observando g(x), notamos que, quando x tende a mais ou menos infinito, g(x) tende a 0, dessa forma g(x) não é maior ou igual a 1 para todo o x e com isso f'(x) não é maior que f(x) para todo o x, logo, IV é Falsa.