Question

Considere a função = . Sabendo que = , determine a derivada da função :

Answer 1

Resposta:

Letra D

Explicação passo a passo:

Para efeitos didáticos, façamos:

f(x) = y

1) Se y = u.v ⇒ y' = uv' + vu'

2) Se y = lnu ⇒ y' = 1/u * u'

3) Se y = x ⇒ y' = 1

4) lnxˣ = xlnx

5) y' = f'(x)

Seja y = xˣ

Aplique logaritmo natural aos dois membros

lny = lnxˣ

lny = xlnx

Derivando os dois lados implicitamente:

$\frac{1}{y} *y' =x*\frac{1}{x} +lnx.1\\\\\frac{y'}{y} =1+lnx\\\\y'=y(1+lnx)\\\\y'=x^x(1+lnx)\\\\y'=x^x+x^xlnx$

Outro modo:

Lembrando que: $a=e^l^n^{a}$

$y=x^x\\\\y=e^{lnx^{x} }\\\\y=e^{xlnx} \\\\y'=e^{xlnx(x.\frac{1}{x}+lnx.1) }\\\\y'=e^{lnx^{x} } (1+lnx) \\\\y'=x^x(1+lnx)\\\\y'=x^x+x^xlnx$