Question

Considere a função real definida por f(x)=x^2-3x
Determine para que valores reais de x a desigualdade f(x+1) <= 0 é verdadeira

Answer 1

Olá!

     Aplicando a lei da função para o argumento   $x+1$  temos:


    $f(x+1) = (x+1)^2-3\cdot(x+1) = (x+1)[(x+1)-3] = \\ \\ = (x+1)(x-2) \\ \\ \text{E, ent\~ao,}\\ \\ f(x+1)\leqslant 0\Leftrightarrow (x+1)(x-2)\leqslant 0.$

    Agora perceba que   $(x+1)(x-2)=0$   é uma equação do segundo grau de raízes  $x_1=-1\;\;\text{e}\;\;x_2=2$  , cujo coeficiente do termo ao quadrado é positivo. Ou seja, temos 2 raízes reais e uma parábola com a "boca" para cima.

    Assim podemos concluir que, entre essas duas raízes, a função dada por essa equação é negativa, e fora deste intervalo, ela é positiva. 

    Portanto, 

$f(x+1)\leqslant 0 \Leftrightarrow (x+1)(x-2)\leqslant 0 \Leftrightarrow -1\leqslant x \leqslant 2.$

E assim, a solução é o conjunto S a seguir:

$S = \{x\in\mathbb{R}: x\in[-1,2]\}.$
                      


Bons estudos!