Question

Considere a função R(x) = ln (Raiz(x+8) / x-4).

1) Encontre o domínio da função y=r(x). Mostre os cálculos com as devidas justificativas.

2) Encontre os pontos de interseção do gráfico da função y=r(x) com os eixos coordenados, quando existirem. Mostre os cálculos com as devidas justificativas.

Answer 1

1) Encontrar o domínio da função:

$\mathsf{R(x)=\ell n\!\left(\dfrac{\sqrt{x+8}}{x-4}\right)}$

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Restrições para o domínio:


•   Denominadores não podem se anular:

$\mathsf{x-4\ne 0}\\\\ \mathsf{x\ne 4\qquad(i)}$


•    Radicandos em índice par não podem ser negativos:

$\mathsf{x+8>0}\\\\ \mathsf{x>-8\qquad(ii)}$

não inclui o – 8 porque esse valor para x anularia o logaritmando (que está ligada a nossa próxima restrição)


•    Logaritmandos sempre devem ser positivos:

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{x+8}}{x-4}>0}\\\\ \mathsf{\dfrac{N(x)}{D(x)}>0\qquad(iii)}$


sendo

$\mathsf{N(x)=\sqrt{x+8}}\\\\ \mathsf{D(x)=x-4}$


Vamos estudar o sinal do numerador e do denominador:


$\mathsf{N(x)=\sqrt{x+8}}$

é uma função que retorna raiz quadrada de um número real.

A função raiz quadrada nunca resulta em número negativo , para valores dentro de seu domínio (nesse caso especial, não pode nem ser zero). Sendo assim, segue o sinal do numerador:

$\begin{array}{cc} \mathsf{N(x)=\sqrt{x+8}}\quad&\underset{-8}{\circ}\underline{+++++}\underset{4}{\circ}\underline{+++++} \end{array}$


$\mathsf{D(x)=x-4}$

é uma função afim, crescente cuja raiz é x = 4. Mas esse valor anularia o denominador:


Segue o sinal do denominador:

$\begin{array}{cc} \mathsf{D(x)=x-4}\quad&\underset{-8}{\circ}\underline{-----}\underset{4}{\circ}\underline{+++++} \end{array}$


Representando simultaneamente o sinal do numerador, do denominador, e da fração formada por ambos:

$\begin{array}{cc} \mathsf{N(x)=\sqrt{x+8}}\qquad&\underset{-8}{\circ}\underline{+++++}\underset{4}{\circ}\underline{+++++}\\\\ \mathsf{D(x)=x-4}\qquad&\underset{-8}{\circ}\underline{-----}\underset{4}{\circ}\underline{+++++}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{N(x)}{D(x)}=\dfrac{\sqrt{x+8}}{x-4}\qquad}&\underset{-8}{\circ}\underline{-----}\underset{4}{\circ}\underline{+++++} \end{array}$


Voltando a $\mathsf{(iii),}$ queremos que o lado esquerdo da desigualdade sempre seja positivo. Logo, o intervalo de interesse é

$\mathsf{x>4}$

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Domínio da função:

É determinado pela interseção das condições $\textsf{(i), (ii) e (iii).}$

$\mathsf{Dom(R)=\{x\in\mathbb{R}:~x>4}\}$


ou usando a notação de intervalos,

$\mathsf{Dom(R)=\left]4,\,+\infty\right[\,.}$

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2) Interseções com os eixos coordenados:

•   Interseções com o eixo y:

Deveríamos ter $\mathsf{x=0}$ no domínio da função. Como

$\mathsf{0\not \in Dom(R),}$

não é possível computar o valor da função quando $\mathsf{x=0}.$


Portanto, não há interseções com o eixo y.

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•   Interseções com o eixo x (raízes da função):

Fazendo $\mathsf{y=0:}$

$\mathsf{\ell n\!\left(\dfrac{\sqrt{x+8}}{x-4}\right)=0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\sqrt{x+8}}{x-4}=e^0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\sqrt{x+8}}{x-4}=1}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{x+8}=x-4}$


Devemos resolver a equação acima, levando em conta que x só poderá assumir valores no domínio (maiores que 4).

$\mathsf{(\sqrt{x+8})^2=(x-4)^2}\\\\ \mathsf{x+8=x^2-8x+16}\\\\ \mathsf{0=x^2-8x+16-x-8}\\\\ \mathsf{x^2-9x+8=0}$
 

Vou usar o método de fatoração por agrupamento para resolver a equação do 2º grau acima.

Reescreva convenientemente $-9x$ como $-8x-x,$ e fatore por agrupamento o lado esquerdo:

$\mathsf{x^2-8x-x+8=0}\\\\ \mathsf{x(x-8)-1(x-8)=0}\\\\ \mathsf{(x-8)(x-1)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x-8=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x-1=0}\\\\ \mathsf{x=8}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=-1}~~\textsf{(n\~ao serve, pois }\mathsf{-1<4}\textsf{)} \end{array}$


Portanto, temos apenas uma interseção com o eixo x: Quando $\mathsf{x=8:}$

$\mathsf{y=R(8)}\\\\ \mathsf{y=\ell n\!\left(\dfrac{\sqrt{8+8}}{8-4}\right)}\\\\\\ \mathsf{y=\ell n\!\left(\dfrac{\sqrt{16}}{4}\right)}\\\\\\ \mathsf{y=\ell n\!\left(\dfrac{4}{4}\right)}\\\\\\ \mathsf{y=\ell n\,1}\\\\ \mathsf{y=0\qquad\checkmark}$


A interseção com o eixo x ocorre no ponto $\mathsf{(8,\,0).}$

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Bons estudos! :-)


Tags: domínio função real logaritmo ln raiz quadrada fração quociente inequação conjunto intervalo interseção eixo coordenado zero