Question

considere a função p definida por p(x)=x²+2(n+2)x+ 9n. Se as raízes de p(x)=0 são iguais, os calores de n são:
(a) 1 e 4
(b) 2 e 3
(c) -1 e e
(d) 2 e 4
(e) 1 e -4

Explique seu raciocínio e como faz o calculo.

Answer 1

Os valores de n são 1 e 4.

Explicação passo a passo:

Para que a equação $\mathsf{x^2+2(n+2)x+9n=0}$ tenha raízes iguais deve-se ter $\mathsf{\Delta=0.}$

Dessa forma:

$\mathsf{\Delta=0}\implies\\\implies\mathsf{[2(n+2)]^2-4\cdot1\cdot9n=0}\implies\\\implies\mathsf{(2n+4)^2-36n=0}\implies\\\implies\mathsf{4n^2+16n+16-36n=0}\implies\\\implies\mathsf{4n^2-20n+16=0}\implies\\\implies\mathsf{n^2-5n+4=0}$

Para encontrar os valores de n, temos que resolver a equação $\mathsf{n^2-5n+4=0.}$

Vamos resolvê-la usando as relações de Girard.

Sejam $\mathsf{n_1}$ e $\mathsf{n_2}$ as raízes dessa equação. Então:

$\begin{cases}\mathsf{n_{1}+n_{2}=5}\\\mathsf{n_{1}\cdot\,n_{2}=4}\end{cases}$

Quais são os números cuja soma é 5 e o produto é 4?

Note que esses números são 1 e 4.

Portanto, as raízes de $\mathsf{n^2-5n+4=0}$ são 1 e 4, ou seja, a resposta correta é a alternativa (a).