Question

Considere a função LaTeX: f(x,y) = x^2 - y^2f(x,y)=x2−y2. Sobre o conjunto dos pontos em que vale LaTeX: f(x, y) = 0f(x,y)=0, é correto afirmar:
É uma circunferência de centro na origem.
É um par de retas que passam pela origem.
Nenhuma das alternativas.
É formado por exatamente uma reta.
É formado por um único ponto.

Answer 1

Sendo f(x,y) = x² - y², temos que:

x² - y² = 0

Perceba que essa equação corresponde a uma hipérbole degenerada.

Sendo assim, o conjunto dos pontos em que f(x,y) = 0 corresponde a um par de retas que passam na origem.

São elas:

x² = y²

x = y e y = -x.

Alternativa correta: letra b).

Outra forma de resolver:

Perceba que x² - y² é uma diferença de quadrados.

Além disso, sabemos que x² - y² = (x - y)(x + y).

Assim,

(x - y)(x + y) = 0

Temos duas condições:

x - y = 0 ou x + y = 0

y = x ou y = -x.

Portanto, temos duas retas que passam pela origem.