Question

Considere a função g : R → R tal que g(x) = 9 − x² .
a) Coloque em ordem crescente os números g(√2), g(√5) e g(√10).
b) Determine todos os possíveis valores de x do domínio que têm imagem igual a 8.
c) Existe algum x ∈ R cuja imagem é igual a 10? Por que?
d) Que condição deve satisfazer um número real b para que seja a imagem de algum número real x, isto é, b = g(x)​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a) g(√10), g(√5), g(√2)   b)-1 e 1  c) Não

Explicação passo-a-passo:

a) Essa é uma função decrescente para valores positivos de x, portanto quanto maior o x, menor é a imagem.

b)Para determinarmos os valores de x com imagem=8, temos que:

8=9-x²

subtraindo 8 de ambos os lados:

1-x²=0

Sabendo que 1=1², podemos aplicar o produto notável da diferença de dois quadrados:

(1-x)(1+x)=0

tendo em mente que a unica forma de obter 0 a partir de uma multiplicação de dois termos, é no caso de pelo menos um deles ser igual a 0, temos que:

x'-1=0

ou

x''+1=0

x'=1

x''=-1

c) Podemos começar analogamente à forma como começamos a b:

10=9-x²

Subtraindo ambos os lados por 9:

1 = -x²

Multiplicando ambos os lados por -1:

-1 = x²

Extraindo a raiz em ambos o os lados:

x=√-1

√-1 é um número que não pertence aos reais, portanto não há x ∈ R cuja imagem é igual a 10.

d) Para que b = g(x), ele precisa estar cotido no intervalo de g(x).

Para encontramor o intervalo de g(x), precisamos primeiro fazer um estudo de seu gráfico.

g(x) é uma função quadrática f(x)=ax²+bx+c, onde a=-1, b=0 e c=9. Com isso, podemos deduzir que o seu gráfico é uma parábola para baixo, pelo fato de seu valor de a ser menor que zero (ver anexo).

Pelo fato d'ele ser uma parábola para baixo, o seu vértice é seu ponto máximo, portanto o seu intervalo será g(x) ∈ [$Yv$,∞).

Para encontrar $Yv$, podemos usar a fórmula $Yv$ =- Δ/(4a), sendo Δ = b²-4ac.

Aplicando a fórmula, temos:

$Yv=-\frac{0^2-4*(-1*9)}{-4}=-\frac{36}{-4} =9$

Por fim, como definimos que o intervalo da função é g(x) ∈ [$Yv$,∞) e $Yv$ = 9, o intervalo da função será g(x) ∈ [9,∞).

b = g(x)​ ⇔ b ∈ [9,∞)