Question

considere a função :f(x,y)=x²-2xy+3y³. determine as derivadas parciais de primeira ordem

Answer 1

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que as derivadas parciais de primeira ordem da referida função polinomial em termos das incógnitas "x" e "y" são, respectivamente:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{x}(x, y) = 2x - 2y\:\:\:}}\end{gathered} }$

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f_{y}(x, y) = 9y^{2} - 2x\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial em duas variáveis:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = x^{2} - 2xy + 3y^{3}\end{gathered}$

Para calcular a derivada parcial de uma determinada função em termos de uma incógnita devemos considerar as demais incógnitas como constantes. Além disso, devemos levar em consideração as seguinte regras de derivação:

• Derivada da constante.

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = c \Longrightarrow f'(x) = 0,\:\:\forall c\in\mathbb{R}\end{gathered}$

• Derivada da potência.

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:f(x) = x^{n} \Longrightarrow f'(x) = n\cdot x^{n - 1}\end{gathered}$

Então, temos:

• Calculando a derivada parcial de primeira ordem da função em termos de "x":

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{x}(x, y) = 2\cdot x^{2 - 1} - 1\cdot 2\cdot x^{1 - 1}\cdot y\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot x - 2\cdot x^{0}\cdot y\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot x - 2\cdot 1\cdot y\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2x - 2y\end{gathered}$

        Portanto:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{x}(x, y) = 2x - 2y\end{gathered}$

• Calculando a derivada parcial de primeira ordem da função em termos de "y":

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{y}(x, y) = -1\cdot2\cdot x\cdot y^{1 - 1} + 3\cdot3\cdot y^{3 - 1}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -2\cdot x\cdot y^{0} + 9\cdot y^{2}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -2\cdot x\cdot 1 + 9\cdot y^{2}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -2x + 9y^{2}\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 9y^{2} - 2x\end{gathered}$

        Portanto:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{y}(x, y) = 9y^{2} - 2x\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$