Question

Considere a função f (x,y) = $\sqrt{x^{2} +y^{2}$ .
a. Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem desta função.
b. Mostre que as derivadas parciais de segunda ordem satisfazem o Teorema de Clairaut.
c. Mostre que $\frac{a^{2} f}{ax^{2} } (x,y)+\frac{a^{2}f }{ay^{2} } (x,y)=\frac{1}{f(x,y)}$

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades de derivadas parciais.

Seja a função $f(x,~y)=\sqrt{x^2+y^2}$.

a) Devemos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem desta função.

Lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função de duas variáveis em respeito a uma delas é calculada considerando a outra variável como constante.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Calculando a derivada de primeira ordem em respeito à variável $x$, temos

$\partial_xf=\partial_x(\sqrt{x^2+y^2})$

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada

$\partial_xf=\partial_x(x^2+y^2)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}$

Aplique a regra da soma

$\partial_xf=(\partial_x(x^2)+\partial_x(y^2))\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}$

Calcule a derivada da potência, da constante e multiplique os valores

$\partial_xf=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Para calcular a derivada de segunda ordem em respeito à variável $x$, lembre-se que $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)$, logo teremos:

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\partial_x\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

Aplique a regra do quociente

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial_x(x)\cdot\sqrt{x^2+y^2}-\partial_x(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}$

Calcule as potências e as derivadas

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot x}{x^2+y^2}}$

Multiplique os valores e some as frações

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$

Agora, devemos calcular as derivadas de primeira e segunda ordem em respeito à variável $y$.

$\partial_yf=\partial_y(\sqrt{x^2+y^2})$

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada

$\partial_yf=\partial_y(x^2+y^2)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}$

Aplique a regra da soma

$\partial_yf=(\partial_y(x^2)+\partial_y(y^2))\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}$

Calcule a derivada da potência, da constante e multiplique os valores

$\partial_yf=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Da mesma forma que anteriormente, calculamos a derivada de segunda ordem:

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\partial_y\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

Aplique a regra do quociente

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\dfrac{\partial_y(y)\cdot\sqrt{x^2+y^2}-\partial_y(\sqrt{x^2+y^2})\cdot y}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}$

Calcule as potências e as derivadas

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot y}{x^2+y^2}}$

Multiplique os valores e some as frações

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\dfrac{x^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$

Acompanhe o restante da solução destas questões no PDF em anexo.

cbede5c6a8092f9faa214e05b3e60230.pdf