Question

Considere a função f(x, y) = 9 - x^2 - 5y^2. Selecione a alternativa que contém a sua transformação correta para coordenadas polares.
Escolha uma:
( )a. 9 - r^2
( )b. 9 - 4r^2 (cos theta)^2 - r^2
( )c. 9r - r^3 (cos theta)^2 + r^3 (sen theta)^2
( )d. 9 - r^2 - 4r^2 (sen theta)^2
( )e. 9r - r^2 (cos theta) - r (sen theta)^2

Answer 1

✅ Uma vez tendo resolvido todos os devidos cálculos, percebemos que a função transformada para coordenadas polares é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f(r, \theta) = 9 - r^{2}(\cos^{2}\theta + 5\sin^{2}\theta)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função cartesiana em duas variáveis:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = 9 - x^{2} - 5y^{2}\end{gathered}$

Para transformar corretamente a função para variáveis polares devemos atentar para as seguintes regras de conversões:

                      $\LARGE\begin{cases} x = r\cos\theta\\y = r\sin\theta\\r^{2} = x^{2} + y^{2}\\\tan\theta = \frac{y}{x}\end{cases}$

Além disso, devemos saber que o genérico ponto cartesiano "P", pode ser representado por:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} P(x, y)\end{gathered}$

Desta forma,  o seu correspondente polar pode ser denotado por:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} P_{P}(r,\theta)\end{gathered}$

Realizando a conversão, temos:

     $\Large \begin{aligned}f(x, y) & = 9 - x^{2} - 5y^{2}\\f(r,\theta)& = 9 - (r\cos\theta)^{2} - 5(r\sin\theta)^{2}\\f(r, \theta)& = 9 - r^{2}\cos^{2}\theta - 5(r^{2}\sin^{2}\theta)\\f(r, \theta)& = 9 - r^{2}\cos^{2}\theta - 5r^{2}\sin^{2}\theta\\f(r, \theta)& = 9 - r^{2}(\cos^{2}\theta + 5\sin^{2}\theta)\end{aligned}$

✅ Portanto:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(r, \theta) = 9 - r^{2}(\cos^{2}\theta + 5\sin^{2}\theta)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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