Question

Considere a função f(x) = x³ - 3x² . Determine os pontos de máximo ou mínimo local, se existir, indicando qual é o máximo ou mínimo.

Answer 1

➜ Essa função tem valor máximo em 0, para x = 0; e mínimo em -4, para x = 2

1. Encontre a derivada da função, $f'(x)$
2. Encontre os valores de x que para $f'(x)=0$
3. Insira os valores encontrados na função original para encontrar as respectivas ordenadas, obtendo, portanto, os pontos críticos
4. Encontre a Derivada Segunda, ou seja, $f''(x)$, e insira os valores x encontrados no segundo passo.
5. De acordo com o sinal do resultado, concluímos o seguinte:

$f''( x) =0\Longrightarrow \begin{cases}ponto\ minimo & ,f''( x) >0\\ponto\ maximo & ,f''( x) < 0\\ponto\ de\ inflexao & ,f''( x) =0\end{cases}$

☞ Temos $f(x)=x^3-3x^2$, a derivada é:

$\begin{array}{l}f'( x) =D\left\{x^{3}\right\} +D\left\{-3x^{2}\right\} \ \ \ \ [ \because D\{f( x) \pm g( x)\} =f'( x) \pm g'( x)\}]\\\\=3x^{2} -6x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because D\left\{ax^{n}\right\} =n\cdotp ax^{n-1}\right]\end{array}$

☞ Para os pontos críticos,

$\begin{array}{l}f'( x) =0\\\\3x^{2} -6x=0\\\\x( 3x-6) =0\\\\\Longrightarrow x=0\lor x=2\end{array}$

$\blacksquare$ Para x = 0, $f(0)=(0)^3-3(0)^2=0$

$\blacksquare$ Para x =2, $f(2)=(2)^3-3(2)^2=-4$

∴ Os pontos críticos são os pontos (0, 0) e (2, -4).

☞ A Derivada Segunda é:

$\begin{array}{l}f''( x) =D\{f'( x)\}\\\\=D\left\{3x^{2} -6x\right\}\\\\=D\left\{3x^{2}\right\} +D\{-6x\}\\\\=6x-6\end{array}$

$\blacksquare$ Para x = 0, $f''(0)=6(0)-6=-6$

Como  $f''(x)<0$, o ponto (0, 0) é ponto máximo.

$\blacksquare$ Para x = 2, $f''(2)=6(2)-6=6$

Como $f''(x)>0$, o ponto (2, -4) é ponto mínimo.

∴ O ponto máximo é o ponto (0, 0) e o ponto mínimo é o ponto (2, -4) ✍️

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