Question

Considere a função f(x)=x²-5x-6, podemos afirmar que: A) Tem duas raízes iguais; B) Não toca o eixo x; C) Toca o eixo “y” no ponto -5; D) Tem duas raízes reais e diferentes. E) É decrescente.​

Answer 1

Alternativa correta é a letra D.

Uma função polinomial é chamada de função de 2° grau ou função quadrática quando ela é defenida por $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) = ax^{2} +bx +c }$, com a, b e c reais e a ≠ 0. Note que se  a = 0 temos uma função do 1° grau ou uma função constante.

Grafico da função quadrática:

O gráfico de uma do 2° grau $\boldsymbol{ \textstyle \sf f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ é uma curva chamada de parábola.

$\large \sf Se\begin {cases} \sf a > 0\quad \text {\sf a concavidade voltada para cima } \to \cup\\ \sf a < 0 \quad \text {\sf a concavidade voltada para baixo } \to \cap\\\end {cases}$

Zeros de uma função quadrática:

Os zeros ou raízes de uma função f(x) são valores de domínio para os quais f( x) = 0.

$\large \sf Se\begin {cases}\Delta = 0 \quad \text {\sf H\'a duas ra\'izes reais e iguais} \\\Delta > 0 \quad \text {\sf H\'a duas ra\'izes reais e distintas} \\\Delta < 0 \quad\begin {cases} \text {\sf N\~ao h\'a ra\'izes reais}\\ \text {\sf H\'a duas ra\'izes complexas e conjugadas}\end {cases}\end {cases}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\displaystyle \sf f(x) = x^{2} -5x - 6$

Para determinar as raízes da função $\textstyle \sf f(x) =x^{2} -5x -6$, fazemos:

$\displaystyle \sf f(x) = 0 \Rightarrow \underbrace{\sf x^{2} -5x-6}_{\text{\sf equacao 2^\circ grau} } = 0$

$\displaystyle \sf {\text{\sf Coeficientes: }} \begin{cases}\sf a = 1 \\ \sf b = -\:5 \\ \sf c= - 6 \end{cases}$

Determinar o Δ:

$\displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\displaystyle \sf \Delta = (-5)^2 -\:4 \cdot 1 \cdot (-6)$

$\displaystyle \sf \Delta = 25+ 24$

$\displaystyle \sf \Delta = 49$

Determinar as raízes da equação:

$\displaystyle \sf x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,(-5) \pm \sqrt{ 49 } }{2 \cdot 1} = \dfrac{5 \pm 7 }{2}$

$\displaystyle \sf x \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{5+ 7}{2} = \dfrac{12}{2} = \;6 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{5 - 7}{2} = \dfrac{- 2}{2} = - 1\end{cases}$

Analisando a figura em anexo, temos:

A) Tem duas raízes iguais;

Falso.  Δ = 49 > 0, tem duas reais e distintas.

B) Não toca o eixo x;

Falso. a = 1 >  0, tem concavidade volta para cima e Δ = 49 > 0, toca o eixo de ox em dois pontos.

C) Toca o eixo “y” no ponto -5;

Falso. toca no oy no ponto - 6.

D) Tem duas raízes reais e diferentes;

Verdadeiro. x' = - 1  e x'' = 6.

E) É decrescente.​

Falso.        

$\displaystyle \sf x_v = - \:\dfrac{b}{2a} \Rightarrow x_v = -\dfrac{(-5)}{2 \cdot 1} \Rightarrow x_v = \dfrac{5}{2}$

A função é decrescente no intervalo

$\boldsymbol{\displaystyle \sf S = \left\{x\in \mathbb{R}\mid x \leq \dfrac{5}{2} \right\} }$

e crescente no intervalo

$\boldsymbol{\displaystyle \sf S = \left\{x\in \mathbb{R}\mid x\geq \dfrac{5}{2} \right\} }$