Question

Considere a função f(x)= x²-4x+3​

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Answer 1

Resposta:

a) $S = \{3;1\}$

b) $V = (2, -1)$

c) É o ponto de mínimo da função dada.

d) É uma parábola que corta o eixo x nas raízes calculadas em (a) e tem intercepto y igual a 3. Para confirmar, vá na caixa de busca do Google e digite exatamente: x^2 - 4x + 3.

Explicação passo a passo:

Existem várias maneiras de resolver este problema. Vou começar pela maneira elegante.

Vamos escrever a função dada na forma canônica, isto é, após completar o quadrado.

Note que podemos escrever a mesma função como:

$f(x) = (x-2)^2-1.$

Assim fica fácil responder a letra (a):

$f(x) = 0 \implies (x-2)^2 - 1 = 0$

Portanto, isolando o x, resulta em:

$x -2 = \pm \sqrt{1} = \pm 1$

Logo: $x = \pm 1 + 2 \implies x_1 = 1 + 2 = 3\;\;\text{ e }\;\; x_2 = -1 + 2 = 1.$

Consequentemente, o conjunto solução é:

$S = \{3;1\}$, e é a resposta da letra (a).

Ainda com base neste método elegante, vamos responder à letra (b). Bem, aqui não precisa nem fazer muita conta, basta você se lembrar que o gráfico de uma função do segundo grau é sempre uma parábola.

Isto significa que o vértice da parábola será o eixo de simetria dela. Assim, o vértice está posicionado no eixo x simetricamente às raízes, calculadas na questão (a).

Deste modo:

$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{4}{2} = 2.$

A coordenada y é obtida simplesmente calculando o valor da função no vértice:

$f(2) = -1.$

Portanto, o vértice está em: $(x_v,y_v) = (2,-1) \equiv V.$ (Chamei este ponto de V, de vértice).

A letra (c) também é bastante simples. Veja que o sinal do termo quadrático é positivo. Isto significa que a parábola tem concavidade voltada para cima. Portanto, não há nenhum outro valor menor do que o vértice neste caso. Logo, é o mínimo, o menor valor que a função pode assumir no seu domínio.

Finalmente, a letra (d) é facilmente esboçada quando você tem em mente todos os pontos já calculados: os zeros e o vértice.

Uma informação adicional é que o intercepto y é calculado facilmente, quando você faz x = 0 na função: $f(0) = 3.$

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Achou complicado?

Provavelmente você aprendeu a usar Bháskara. Veja:

$x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$

sendo que a função é

$f(x) = ax^2 + bx + c$

e você quer encontrar x tal que

$f(x) = 0.$

Como, neste caso que você forneceu, a = 1, b = -4 e c = 3, temos:

$x = \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1} = \frac{4\pm2}{2}$

de onde saem: $x_1 = \frac{4+2}{2} = 3\;\;\text{ e }\;\; x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1.$

Este resultado concorda exatamente com o que obtivemos acima. É natural, pois a fórmula de Bháskara vem de completar o quadrado.

Agora note que a coordenada x do vértice da parábola pode ser obtida de:

$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2\cdot 1} = 2.$

O resto da história você já sabe!

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Como diria Pai Mei: "quer ter este poder?" :D

Qualquer dúvida, me chama.