Question

considere a função

f(x)= |x| se x diferente de 0
2 se x=0

Calcule os limites laterais lim f(x) com x tendendo 0 pela esquerda e lim f(x) com x tendendo a 0 pela direita e conclua se existe, ou não, o limite da
função f(x) em torno de 0.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x ) = \begin{cases} |x| , \: se \: x \neq 0 \\ 2, \: se \: x = 0\end{cases}$

A questão quer a prova de que esse limite existe ou não. Para isso devemos calcular os limites laterais em torno do ponto 0. Como sabemos os limites laterais devem ser iguais, então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to 0^{+} } f(x)=\lim_{x\to 0^{ - } }f(x)$

Para prosseguir com o cálculo, vamos usar a definição de módulo:

$|x | = \begin{cases} x , \: se \: x \geqslant 0 \\ - x, \: se \: x < 0\end{cases}$

Inserindo essa informação na nossa função, passamos a ter que:

$f(x ) = \begin{cases} x , \: se \: x \geqslant 0 \\ - x, \: se \: x < 0 \\ 2, \: se \: x = 0\end{cases}$

Agora sim podemos analisar os limites laterais. Quando x tende a 0 pela direta (+), quer dizer que x se aproxima de 0 por valores maiores que 0, então devemos usar a função que corresponde a um x > 0, isto é, usaremos a função f(x) = x. Já quando temos x tendendo a 0 pela esquerda (-), temos que usar a função que corresponde a um x < 0, isto é, usaremos a função f(x) = -x. Substituindo essas informações na igualdade dos limites laterais, temos que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to 0^{+} } x=\lim_{x\to 0^{ - } } - x$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to 0^{+} } x=\lim_{x\to 0^{ - } } - x \\ 0 = - 0 \\ \boxed{ 0 = 0}$

Como os limites laterais foram iguais, quer dizer então que esse limite existe.

Espero ter ajudado