Question

Considere a função f(x)=|x(ao quadrado)-5x+4|.
A)qual é o valor de x para que f(x)=-2?
B)E para f(x)=2

Answer 1

a) É trivial que não existe x para f(x)=-2

b)$x^2-5x+4=\pm2$

$i)\: x^2-5x+4=2\Leftrightarrow$

$x^2-5x+2=0\Rightarrow$

$x=\frac{5\pm\sqrt{25-4\cdot 2}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$.

$ii)\: x^2-5x+4=-2\Leftrightarrow x^2-5x+6=0$. É fácil ver, por inspeção, que 2 e 3 são raízes, pois -(2+3)=-5 e 2•3=6.

Daí, $S_x=\{2,\: 3,\: \frac{5+\sqrt{17}}{2}, \: \frac{5-\sqrt{17}}{2}\}$.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Bruninho, que a resolução parece simples. Apenas é um pouco trabalhosa porque envolve conhecimento sobre funções modulares. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i)Tem-se: considere a função f(x) = |x²-5x+4| , para:

a) f(x) = - 2

e

b) f(x) = 2 .

ii) Antes de mais nada, note que a a hipótese do item "a" [f(x) = - 2] é impossível ocorrer, pois o que está dentro do módulo terá que ser positivo NECESSARIAMENTE. Então, simplesmente vamos informar que o conjunto-solução da hipótese do item "a" é o conjunto vazio, que você poderá informar de uma das seguintes formas:

∅ ou, se quiser: { } <--- Esta é a forma de informar que a resposta é o conjunto vazio para |x²-5x+4| = - 2, ou seja, para informar que a hipótese do item "a" é impossível ocorrer, ok? Em outras palavras, note que o que está dentro do módulo nunca poderá ter resultado negativo, como é a hipótese do item "a".

iii) Assim, vamos apenas para a hipótese do item "b", que é esta:

f(x) = |x² - 5x + 4| , para f(x) = 2. Então vamos igualar f(x) a "2", com o que ficaremos assim:

|x² - 5x + 4| = 2 ----- agora vamos para as condições de existência de funções modulares:

ii.1) Para "x²-5x+4" ≥ 0, teremos:

x² - 5x + 4 = 2 ------ passando "2" para o 1º membro, temos:

x² - 5x + 4 - 2 = 0 ---- desenvolvendo, teremos:

x² - 5x + 2 = 0 ----- aplicando Bháskara, teremos:

x = [-(-5) ± √((-5)² - 4*1*2)]/2*1 ----- desenvolvendo, teremos:

x = [5 ± √(25 - 8)]/2 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

x = [5 ± √(17)]/2 ----- daqui você conclui que:

x' = [5 - √(17)]/2

e

x'' = [5 + √(17)]/2

As duas raízes acima são válidas para (x²-5x+4) ≥ 0

ii.2) Para "x²-5x+4 < 0", teremos:

-(x²-5x+4) = 2 ----- desenvolvendo, ficaremos com:

-x² + 5x - 4 = 2 ---- passando "2' para o 1º membro, temos;

-x² + 5x - 4 - 2 = 0 ----- desenvolvendo, teremos:

-x² + 5x - 6 = 0 ----- Agora vamos aplicar Bháskara, ficando assim:

x = [-5 ± √(5²-4*(-1)*(-6)]/2*(-1) ----- desenvolvendo, teremos:

x = [-5 ± √(25 - 24]/-2 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

x = [-5 ± √(1)]/-2 ---- como √(1) = 1, teremos:

x = [-5 ± 1]/-2 ------- daqui você já poderá concluir que:

x' = [-5-1]/-2 .

x' = (-6)/-2 ---> x' = 6/2 ---> x' = 3 .

e

x'' = [-5 + 1]/-2

x'' = (-4)/-2 --->x'' =  4/2 ---> x'' = 2 .

As raízes encontradas aí em cima são para (x²-5x+4) < 0.

iii) Assim, resumindo, temos que o conjunto-solução para a função modular da sua questão será este (após havermos aplicado a condição de existência de funções modulares):

S = {[5-√(17)]/2; [5+√(17)]/2;  2;  3} <--- Esta é a resposta.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.