Question

considere a função: f(x)= x / 1+x^2. Determine os intervalos onde a função f tem concavidade para cima e concavidade para baixo;

Answer 1

A concavidade da função está diretamente ligada com o ponto de inflexão, então vamos usar esses dados encontrados na questão anterior. Os pontos de inflexão que encontramos são:

$\sf pontos \: de \: inflex \tilde{a}o \: ( - \sqrt{3} , \: \:0 \: \: e \: \sqrt{3} )$

Agora devemos montar uma espécie de reta real com esses valores:

___ -√3____0______√3______

Após montar essa reta, devemos pegar números que antecedem e sucedem esses valores.

• Para -√3:

Um valor que antecede o -√3 é o -√2, já um valor que sucede é o -2, agora devemos substituir esses dados na derivada segunda e observar o sinal do valor obtida através dessa substituição:

$f"(x) = \frac{2x {}^{5} - 4x {}^{3} - 6x}{(x {}^{2} + 1) {}^{4} } \\ \\ f"( - \sqrt{2} ) = \frac{2 \sqrt{2} }{27} \\ \\ f"( - 2) = - \frac{4}{125}$

Então podemos observar que antes de -√3 o valor da função é negativa e depois de -√3 a função é positiva, logo podemos dizer que:

$f"(x) > 0 \longrightarrow \sf concavidade \: p/ \: cima \: \: \\ f"(x) < 0\longrightarrow \sf concavidade \: p/ \: baixo \\ \\ \sf antes \: de \: - \sqrt{3} \: concavidade \: p/ \: baixo \: \\ \sf depois \: de \: - \sqrt{3} \: concavidade \: p/ \: cima \\ \\ ( - \infty , - \sqrt{3} ) \to \sf concavidade \: p/ \: baixo$

• Para 0:

Como já pegamos um valor anteriormente que é menor que "0" e sabemos que ele era positivo, podemos dizer então que:

$( - \sqrt{3} , 0) \longrightarrow \sf concavidade \: p/ \: cima$

• Para √3:

Os valores serão bem parecidos com os escolhidos para -√3, o que mudará é o sinal e a ordem, o número que antecede será √2 e o número que sucede será 2, substituindo na derivada segunda para observar o sinal:

$f"( x ) = \frac{2x {}^{5} - 4x {}^{3} - 6x}{( {x}^{2} + 1) {}^{4} } \\ \\ f"( \sqrt{2} ) = - \frac{2 \sqrt{2} }{27} \\ \\ f"(2) = \frac{4}{125}$

Então podemos dizer que:

$(0, \sqrt{3} )\longrightarrow \sf concavidade \: p/ \: baixo \\ e \\ \\ ( \sqrt{3} , + \infty )\longrightarrow \sf concavidade \: p/ \: cima$

Espero ter ajudado