Question

considere a função: f(x)= x / 1+x^2. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função;

Answer 1

Para fazer essa questão, será necessário usar os dados obtidos na questão anterior. Primeiro devemos reescrever a derivada primeira:

$f'(x) = \frac{1 - x {}^{2} }{( {x}^{2} + 1) {}^{2} }$

Como sabemos, a análise do crescimento e decrescimento da função é feito através da derivada primeira, pois quando tem-se $\bf f'(x) > 0$ quer dizer então que é crescente, já se $\bf f'(x) < 0$ é decrescente, portanto vamos partir dessa ideia e analisar a função acima:

$\frac{1 - x {}^{2} }{(x {}^{2} + 1) {}^{2} } > 0 \: \: \: e \: \: \: \frac{1 - x {}^{2} }{(x {}^{2} + 1) {}^{2} } < 0$

O termo do denominador sempre será positivo, já que ele está elevado ao quadrado, então basta analisarmos o numerador:

$1 - x {}^{2} > 0 \: \: \: e \: \: \: 1 - x {}^{2} < 0$

Para resolver essa inequação do segundo grau, temos que primeiro encontrar a raiz dessa função, para a partir disso obersevar os intervalos de crescimento e decrescimento:

$1 - x {}^{2} = 0 \longrightarrow x_{1} = 1 \: \: e \: \: x_{2} = - 1$

A função inicialmente é dada por:

$f(x) = 1 - x {}^{2}$

Plotando o gráfico vemos uma parábola com concavidade voltada para baixo, logo os valores a esquerda e a direita serão negativos, já no meio que será positivo. Primeiro devemos analisar quando a função é > 0, ou seja, possui valores positivos, se você notar, o intervalo onde a função é positiva parte de -1 e vai até +1, logo:

$- 1 < x < 1 \: \: ou \: \: ( - 1, \: 1) \longrightarrow \: \sf crescente$

Já qua do vamos observar quando a função é < 0, temos as extremidades, ou seja, de menos infinito até -1 e de 1 até mais infinito:

$( - \infty , 1) \: \: e \: \: (1, + \infty )\longrightarrow \sf decrescente$

Espero ter ajudado