Question

considere a função: f(x)= x / 1+x^2. Caso exista(m), determine as retas assíntotas;

Answer 1

Para determinar as assíntotas verticais e horizonte, devemos seguir alguns passos:

Determinação de assíntotas verticais:

1) Achar valores de "x" que dão problema na nossa função, ou seja, que não estão no domínio dela;

2) Fazer os limites laterais da função com x tendendo ao valores problemáticos;

3) Se um desses limites laterais explodirem para mais ou menos infinito, quer dizer que temos uma assíntota vertical;

4) Se os dois limites resultaram em constantes, não temos assíntotas verticais.

Determinação de assíntotas horizontais:

1) Fazer os limites da nossa função com "x" tendendo a mais e menos infinito;

2) Se pelo menos um desses limites resultar em uma constante c, onde c pertence ao reais. Teremos que a reta y = c é uma assíntota horizontal;

3) Se os limites derem constantes diferentes, teremos duas assíntotas;

4) Se os dois limites explodirem para mais ou para menos infinito, não temos assíntotas horizontais.

Partindo desses passos, vamos encontrar as assíntotas dessa função em questão.

• ASSÍNTOTA HORIZONTAL:

Primeiro devemos montar o limite da função tendendo para mais e menos infinito:

$f(x ) = \frac{x}{1 + x {}^{2} }\longrightarrow \lim_{x \to \pm\infty}f(x) \\ \\ \lim_{x\to + \infty} \frac{x}{1 + x {}^{2} } \: \: e \: \: \lim_{x\to - \infty} \frac{x}{1 + x {}^{2} }$

Para resolver esses limites, vamos dividir todos os termos, pelo termo de maior grau do denominador, ou seja, x²:

$\lim_{x\to + \infty} \frac{ \frac{x}{x {}^{2} } }{ \frac{1}{x {}^{2} } + \frac{x {}^{2} }{x {}^{2} } } \: \: e \: \: \lim_{x\to - \infty} \frac{ \frac{x}{x {}^{2} } }{ \frac{1}{x {}^{2} } + \frac{x {}^{2} }{x {}^{2} } } \\ \\ \lim_{x\to + \infty} \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{x {}^{2} } + 1} \: \:e \: \: \lim_{x\to - \infty} \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{x {}^{2} } + 1}$

Agora vamos lembrar do Teorema que nos diz que quando temos uma potência de expoente "n", sendo esse "n" um número inteiro positivo, de quando x tende a ± infinito, o resultado é 0:

$\boxed{\bf\lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{x { {}^{n} } } = 0}$

Note que é justamente alguns termos que temos nos nossos limites, então:

$\lim_{x\to + \infty} \frac{0}{0 +1 } \: \: e \: \: \lim_{x\to - \infty} \frac{0}{0 + 1} \\ \\ \lim_{x\to + \infty} \frac{0}{1 } \: \: e \: \: \lim_{x\to - \infty} \frac{0}{1 } \\ \\ \boxed{ \lim_{x\to a}k = k, \: onde \: k \: \acute{e} \: uma \: constante} \\ \\ 0 \: \: e \: \: 0$

Portanto temos que uma assíntota dessa função é igual a y = 0.

• Resposta: y = 0 assíntota horizontal.

• ASSÍNTOTA VERTICAL:

Para encontrar a assíntota vertical, será um pouco mais diferente, pois primeiro temos que encontrar o número que está fora do domínio dessa função. Lembrando quando uma função tem denominador, então temos que fazer a análise do domínio, se baseando por ele, já que o mesmo não pode ser igual a "0":

$f(x) = \frac{x}{ 1 + x {}^{2} } , \: x > 0 \\ \\ f(x) = 1 + x {}^{2} \notin \mathbb{R}$

Como não pertence aos reais, ou seja, não temos valores problemáticos, quer dizer então que ela não possui assíntota verical.

• Resposta: Não possui assíntota vertical.

Espero ter ajudado