Question

Considere a função f(x) = |x+1|. Mostre que esta função é contínua no ponto x= -1 mas não é derivável neste ponto.

Answer 1

Para mostrar que a função é contínua em x = -1, devemos verificar três itens:

Verificando se f(-1) está definida

f(-1) está definida, pois a função módulo está definida para todo x real, e

$f(-1)=|-1+1|=|0|=0$

Verificando se o limite de f(x) quando x tende a -1 existe

Verificando os limites laterais:

$\lim\limits_{x\rightarrow(-1)^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow(-1)^{-}}|x+1|$

Como x + 1 ≥ 0 se x ≥ - 1 e x + 1 < 0 se x < - 1, nas proximidades a esquerda de x = -1, temos que x - 1 é negativa e, portanto, |x - 1| = - (x + 1), por definição de módulo. Logo

$\lim\limits_{x\rightarrow(-1)^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow(-1)^{-}}-(x+1)=-(-1+1)=0$

Avaliando o limite à direita:

$\lim\limits_{x\rightarrow(-1)^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow(-1)^{+}}|x+1|=\lim\limits_{x\rightarrow(-1)^{+}}(x+1)=-1+1=0$

Como os limites laterais existem, o limite existe e seu valor é 0

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow(-1)}f(x)=0}}$

Verificando se o limite é igual a f(-1)

Sim, o limite é igual a f(-1), pois

$\lim\limits_{x\rightarrow(-1)}f(x)=0=f(-1)$

Como f verificou os 3 itens, f é contínua em x = -1
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Para verificar se f é derivável em x = -1, devemos avaliar o limite

$\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$

Que é justamente a definição da derivada de f em x = -1

Se o limite não existir, a derivada não existe no ponto

Avaliando o limite à esquerda:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-1+h)-0}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-1+h)}{h}$

Se h tende a zero por valores negativos, então - 1 + h é um número menor que - 1 (Exemplo: -1 - 0,1 = -1,1 é menor que -1), e como vimos, f(x) = -(x + 1) para valores de x menores que -1, logo:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{-(-1+h+1)}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{-h}{~~h}=-1$

Avaliando o limite à direita:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-1+h)}{h}$

Quando h tende a 0 pela direita, -1 + h é maior que -1 (Ex: - 1 + 0,1 = -0,9 > -1), então, como vimos, f(-1 + h) = -1 + h + 1 = h

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{-1+h+1}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{h}{h}=\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}1=1$

Como os limites laterais são diferentes, o limite

$\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$

não existe. Portanto, a função não é derivável em x = -1