Question

Considere a função f(x) =sin(x). Seja P(X) o Polinômio de Taylor de ordem 4 de f(x) em volta de 0. Qual das seguintes expressões corresponde ao P(x)?
a.

P parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 1 menos x ao quadrado sobre 2 mais x à potência de 4 sobre 4
b.

P parêntese esquerdo x parêntese direito igual a x menos x ao cubo sobre 3
c.

P parêntese esquerdo x parêntese direito igual a x menos x ao cubo sobre 6
d.

P parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 1 mais x menos x ao quadrado sobre 2 menos x ao cubo sobre 6 mais x à potência de 4 sobre 24
e.

P parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 1 menos x ao quadrado sobre 2 mais x à potência de 4 sobre 24

Answer 1

Resposta:

A fórmula de Taylor para sin(x) em torno de 0 (também chamada de Série de Maclaurin) é:

Somatório com n variando de 0 a infinito de x^(2n+1)*(-1)^n/(2n+1)!, dessa forma, expandino, temos:

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

Como foi pedido apenas até a ordem 4, temos apenas

sin(x) = x - x^3/6

Answer 2

A expressão que corresponde ao P(x) = x - x³/6. Alternativa C

Polinômio de Taylor de ordem n

Usamos os polinômios de Taylor para aproximar funções na região de um determinado ponto. Quanto maior a ordem do polinômio, maior a precisão da aproximação. Encontramos eles da seguinte forma:

$P_n(x) = f(a) + \sum^n_{k=1} \frac{f^{(k)}(a) \cdot (x-a)^k}{k!}$

Sendo a o ponto de aproximação, no nosso caso, o zero. Assim, para um polinômio de ordem 4, temos:

$P_4(x) = sen(0) + \frac{f'(0) \cdot x}{1!}+\frac{f''(0) \cdot x^2}{2!}+\frac{f'''(0) \cdot x^3}{3!}+ \frac{f''''(0) \cdot x^4}{4!}$

Calculemos as derivadas:

• f(x) = sen x
• f'(x) = cos x
• f''(x) = -sen x
• f'''(x) = -cos x
• f''''(x) = sen x

Lembrando que sen 0 = 0 e que cos 0 = 1

$P_4(x) = \frac{ x}{1}+\frac{- x^3}{6}$

Veja mais sobre o Polinômio de Taylor em:

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