Question

Considere a função f(x)= e²ˣ - eˣ.


Selecione as opções verdadeiras.


Escolha uma ou mais:

a. A função f tem uma raiz em x=0 .


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b. O domínio da função derivada é o conjunto dos números reais.


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c. A função f é positiva no intervalo ]0, +∞[ .


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d. A derivada da função dada é f'(x)=eˣ(2eˣ - 1).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Boa noite.

f(x) = e^(2x) -e^x

a)

e^(2x) -e^x = 0

e^(2x) = e^x

2x = x

2x - x = x -x

x = 0

A função f(x) tem raiz em x = 0.

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b)

(d/dx) (e^(2x) -e^x) =

= (d/dx) (e^(2x)) - (d/dx) (e^x)

Use a regra da cadeia:

(df(u))/(dx) = (df)/(du) * (du)/(dx)

Fazendo:

f = e^u

u = 2x

= (d/du) (e^u) * (d/dx) (2x) - (d/dx) (e^x)

= e^u * 2 - e^x

= e^(2x) * 2 - e^x

A função derivada f'(x) não possui restrições de domínio em R. Portanto seu domínio é D(f' ) = {x ∈ R | - ∞ < x < + ∞}.

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c) A função f(x) tem raiz em x = 0 e tem a forma de exponencial crescente, pois a base e = 2,718281... é um número positivo.

f(x) = a^x é crescente quando a > 1, independentemente do valor de x.

Portanto a função é positiva no intervalo ]0, +∞[.

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d) A derivada de f(x) = e^(2x) -e^x é

f'(x) = e^(2x) * 2 - e^x

= 2e^(2x) - e^x

= 2e^(x+x) -e^x

= 2e^x *e^x -e^x

= e^x (2e^x -1)

Bons estudos para você.