Question

Considere a função f(x) abaixo com duas raízes reais e distintas. Assinale a alternativa correta.

$f(x) = m {x}^{2} + (2m - 1)x + (m - 2)$
a) O maior m possível para f(x) é m = -1/4

b) O menor m possível para f(x) é m = -1/4

c) Nessas condições m = 0

d) Nessas condições m = 1/4

e) Não existe m real possível para f(x)​

Answer 1

A alternativa b é a correta.

É um problema que envolve a análise do sinal do discriminante Δ. Lembremos que o discriminante pode ser calculado por:

Δ $= b^{2}-4.a.c$ (I)

Se:

• Δ $>0$ : a função possui duas raízes reais e distintas.

• Δ $= 0$ : a função possui duas raízes reais e idênticas.

• Δ $< 0$ : a função não possui raízes reais.

O enunciado nos diz que as duas raízes são reais e distintas, logo Δ $>0$.

Calculando Δ da função f(x):

$a = m\\b = 2m-1\\c = m-2$

Substituindo os valores de $a, b$ e $c$ em (I):

Δ $>0$

$(2m-1)^{2}+(m).(m-2)>0$

$(2m)^{2}-4m+1-4m^{2} +8m >0$

$4m^{2} -4m^{2} +8m-4m+1>0$

$m>-\frac{1}{4}$

Para que f(x) tenha duas raízes reais e distintas é necessário que $m>-\frac{1}{4}$. Analisaremos as alternativas:

a) Errada. O maior valor possível de $m$ não é -1/4. Por exemplo: $0 > -\frac{1}{4}$.

b) Correta. Essa alternativa é a que mais se aproxima. No entanto, veja que se $m = -\frac{1}{4}$ a função apresenta duas raízes reais idênticas.

c) Errada. O valor de $m$ pode ser qualquer valor maior que $-\frac{1}{4}$.

d) Errada. O valor de $m$ pode ser qualquer valor maior que $-\frac{1}{4}$.

e) Errada. Para qualquer valor real de $m$ superior a $-\frac{1}{4}$, a função f apresentará duas raízes reais e distintas.

Quaisquer dúvidas, deixe-as nos comentários.

Bons estudos!