Question

Considere a função f(x) = 8x³ + 30x² + 24x + 10.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = 8x {}^{3} + 30x {}^{2} + 24x + 10$

A partir dessa função, a questão nos pergunta:

• a) Indique os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Para encontrar esses tais intervalos, devemos analisando quando a f'(x) > 0 e f'(x) < 0, portanto vamos iniciar derivando a função:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (8 {x}^{3} + 30x {}^{2} + 24x + 10) \\ \\ \frac{dy}{dx} = 24x {}^{2} + 60x + 24 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: <strong> </strong>\: \: \: \: \: \:$

Agora devemos analisar quando é > e < que 0:

$\frac{dy}{dx} > 0 \: \: e \: \: \frac{dy}{dx} < 0 \\ \\ 24x {}^{2} + 60x + 24> 0 \: \: e \: \: 24x {}^{2} + 60x + 24 < 0$

Primeiro vamos encontrar as raízes dessa função e a partir disso plotar o gráfico da função:

$24x {}^{2} + 60x + 24 = 0 \longrightarrow \begin{cases}x_{1} = - \frac{1}{2} \\ x_{1} = - 2 \end{cases}$

Mnotando o gráfico, temos uma parábola de concavidade para cima. Com esse gráfico formado, podemos tirar as conclusões:

$24x {}^{2} + 60x + 24 > 0 \: \: e \: \: 24x {}^{2} + 60x + 24 < 0 \\ \\ \boxed{ crescente : ( - \infty , - 2) \: \: e \: \: \left( - \frac{1}{2}, \infty \right) } \\ \boxed{decrescente : \left( - 2 , - \frac{1}{2} \right)}$

• b) A função admite pontos de máximo e/ou mínimo? Se sim, quais são?

Para encontrar esses máximos e mínimos, vamos usar o teste da derivada segunda, portando vamos derivar a função mais uma vez:

$\frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2} } = \frac{d}{dx} (24x {}^{2} + 30x + 24) \\ \\ \frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2} } = 48x + 30 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora devemos pegar os pontos críticos da função, que são os valores que anulam a derivada primeira, ou seja, -2 e -1/2 e substituir na derivada segunda, após isso analisar o sinal.

$\begin{cases}para \: x = - 2 \\ \frac{d {}^{2}y }{dx {}^{2} }=48.( - 2) + 30 \\ \frac{d {}^{2}y }{dx {}^{2} } = - 66 \end{cases} \begin{cases} para \: x = - \frac{1}{2} \\ \frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2} } = 48. \left( - \frac{1}{2} \right) + 30\\ \frac{d {}^{2}y }{dx {}^{2} } = 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{cases}$

Relembrando que:

$\frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2}} > 0 \to minimo \: local \: \\ \frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2}} < 0 \to m \acute{a}ximo \: local$

Com isso podemos dizer que:

$x = - 2 \: \acute{e} \: um \: m \acute{a}ximo \: local \\ x = - \frac{1}{2} \acute{e} \: um \: m \acute{i}nimo \: local$

Espero ter ajudado