Question

Considere a função f(x) = [1/(4a)] x² + x +a, onde "a" é um número real não nulo. como poderia ser o gráfico dessa função?

Answer 1

Resposta:

O gráfico em qualquer valor de "a" , diferente de zero, vem

sempre tangente ao eixo do x.

Todas estas funções possuem apenas uma raiz real

( ver gráficos em anexo )

Explicação passo a passo:

Quando não nos dão valores para uma incógnita e apenas

limitam que seja "a ≠ 0 " , somos livres de escolher valores

para esse "a" e fazer os gráficos e analisar, neste caso o Δ.

Fiz o gráfico num aplicativo para os seguintes valores de "a":

a = 1

f (x) = [ 1/(4 * 1 ) ] *x² + x + 1

$f (x) = \dfrac{1}{4}*x^2 + x + 1$

a = 2

g (x) = [ 1/(4 * 2) ] *x² + x + 2

$g (x) = \dfrac{1}{8}*x^2 + x + 2$

a = - 1

h (x) =  [ 1/(4 * (-1) ) ] *x² + x - 1

$h (x) = -\frac{1}{4} * x^2 + x -1$

a = - 2

i (x) =  [1/(4* (- 2) ] *x² + x - 2

$i (x) = -\dfrac{1}{8} *x^2 + x - 2$

Pelos gráficos vemos que todas elas têm apenas uma solução.

Só tocam o eixo do x num ponto.

Vamos analisar o " binómio discriminante " Δ = b² - 4 * a * c

em cada função.

Para  f (x)   com a = 1

a = 1/4

b = 1

c = 1

Δ =1² - 4 * (1/4) * 1 = 1 - 4/4 = 1 - 1 = 0

Se Δ = 0 a função tem apenas uma solução, que chamemos de dupla.

Para  g (x)   com a = 2

a = 1/8

b = 1

c = 2

Δ = 1² - 4 * (1/8) * 2 = 1 - 4/8 * 2 = 1 - 8/8 = 1 - 1 = 0

Também Δ = 0.

Para h (x)      com a = - 1

a = - 1/4

b = 1

c = - 1

Δ = 1² - 4 * ( - 1/4 ) * ( - 1 ) = 1 + (4/4) * ( - 1 ) = 1 - 1 = 0

Também Δ = 0.

Para  i (x)      com a = - 2

a = - 1/8

b =   1

c = - 2

Δ = 1² - 4 * (- 1/8 ) * ( - 2 ) = 1 + (4/8) * (- 2 ) = 1 - (8/8) = 1 - 1 = 0

Também Δ = 0.

Conclusão → Qualquer valor positivo ou negativo, exceto zero,

que se dê ao "a" as funções têm todas apenas uma raiz pelo

fato do Δ = 0

Observação 1 → Que informação nos dá o valor de Δ em

equações do 2º grau?

Se Δ > 0  

Função com duas raízes reais e distintas

Se Δ = 0  

Função com uma única raiz real ( chamasse de raiz dupla )

Se Δ < 0  

Não existem raízes no conjunto dos números reais

Bons estudos

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( * ) multiplicação    ( / ) divisão     ( ≠ ) diferente de

( < ) menor do que       ( > ) maior do que

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.