Considere a funçao f : R2 → R3 definida por f(x, y) = (2x + y, x + 2y, x − y).
a) Mostre que f é uma transformaçao linear.
b) Julgue as seguintes afirmativas:
(0) f é uma transformaçao linear injetora.
(1) f é uma transformaçao linear sobrejetora.
(2) Os vetores (2, 1, 1) e (1, 2, −1) formam uma base para a imagem de f.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
a) ainda estou tentando fazer.
b)
(0)
{2x+y = 0
{x+2y = 0
{x-y = 0
==//==
escalonando fica:
{2x+y = 0
{0-y = 0
{0-3y = 0
y = 0. Logo x = 0
Como encontramos pra solução desse sistema (0,0), a transformação é injetora.
==//==
(1)
f(x, y) = (2x + y, x + 2y, x − y).
f(x, y) = (2x, x, x) + (y, 2y, − y).
f(x, y) = x(2, 1, 1) + y(1, 2, -1).
Uma transformação linear T :V-->W é sobrejetora se, e somente se Im(T) = W.
Observe que a imagem é R³, ou seja, de dimensão 3, e transformação tem apenas dois vetores, logo é de dimensão 2. Como não atende ao requisito exigido acima não é sobrejetora.
(2)
f(x, y) = (2x + y, x + 2y, x − y).
f(x, y) = (2x, x, x) + (y, 2y, − y).
f(x, y) = x(2, 1, 1) + y(1, 2, -1).
conforme esse desenvolvimento a resposta é sim.