Question

Considere a função f : R → R , dada por f(x) = x3 – 9x .
a. Determine as raízes de f.
b. Determine os intervalos de crescimento e aqueles de decrescimento
de f.
c. Determine os pontos de máximo/mínimo locais de f e os valores de
f nestes pontos.
d. Analise a concavidade do gráfico de f.
e. Esboce o gráfico de f.

Answer 1

f(x) = x³ - 9x

a. Determine as raízes de f

f(x) = 0
x³ -9x = 0
x (x²-9) = 0
x (x + 3) (x - 3) = 0
x = 0 | x = 3 | x = -3

b. Determine os intervalos de crescimento e aqueles de decrescimento de f
f(x) = x³ - 9x = x ( x+3 ) ( x-3 )
f(x) é nula em x = -3, x = 0 e x = 3
Analisando as funções x, x+3 e x - 3 individualmente:

x + 3 -> Decresce para x < -3, nula em x = -3, cresce para x > -3
x -> Decresce para x < 0, nula em x = 0, cresce para x > 0
x - 3 - > Decresce para x < 3, nula em x = 3, cresce para x > 3

Logo pela análise de sinal de x ( x+3 )( x-3 )
Para x < -3 -> (-) * (-) * (-) = (-), f(x) decresce
Para -3 < x < 0 -> (-) (+) (-) = (+) f(x) cresce
Para 0 < x < 3 -> (+) (+) (-) = (-) decresce
Para x > 3 -> (+) (+) (+) = (+) cresce

Crescimento: -3 < x < 0 e x > 3
Decrescimento: x < -3 e 0 < x < 3

c. Determine os pontos de máximo/mínimo locais de f e os valores de 
f nestes pontos. 

Os pontos de máximo e mínimo ocorrem quando a primeira derivada é zero, são de máximo se a segunda derivada for negativa e de mínimo se for positiva:

f'(x) = 3x² - 9
3x² - 9 = 0
x² - 3 = 0
x² = 3
x = +√3 e x = -√3

f''(x) = 6x
f''(√3) = 6√3 (positiva, ponto de mínimo)
f''(-√3) = -6√3 (negativa, ponto de máximo)

f(√3) = (√3)³ - 9√3 = 3√3 -9√3 = -6√3
f(-√3) = (-√3)³ + 9√3 = -3√3 +9√3 = +6√3

d. e e. basta esboçar o gráfico com todas as informações acima