Question

Considere a função f: |R --> |R tal que f(x) = -2x+4+|x-3|

a) Construa o gráfico de f
b) Classifique f como injetora, sobrejetora ou bijetora
c) A função f admite inversa? em caso afirmativo, determine f^(-1)

Answer 1

Explicação passo a passo:

Considere a função

    $\begin{array}{ccll}f:&\mathbb{R}&\!\!\!\to\!\!\!&\mathbb{R}\\\\ &x&\!\!\!\mapsto\!\!\!&f(x)=2x+4+|x-3|\end{array}$

Dado um número $a\in\mathbb{R},$ o módulo de $a$ é definido por

    $|a|=\left\{\begin{array}{rl}\!\!a,&\mathrm{se~}a\ge 0\\ \!\!-a,&\mathrm{se~}a < 0 \end{array}\right.$

Portanto,

    $\begin{array}{l}|x-3|=\left\{\begin{array}{rl}\!\! x-3,&\mathrm{se~}x-3\ge 0\\ \!\!-(x-3),&\mathrm{se~}x-3 < 0 \end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad |x-3|=\left\{\begin{array}{rl}\!\! x-3,&\mathrm{se~}x\ge 3\\ \!\!-x+3,&\mathrm{se~}x < 3 \end{array}\right. \end{array}$

Então, a lei de $f$ é descrita por duas sentenças:

    $\begin{array}{l}f(x)=-2x+4+|x-3|\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\!\! -2x+4+(x-3),&\mathrm{se~}x\ge 3\\ \!\!-2x+4+(-x+3),&\mathrm{se~}x < 3\end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\!\! -x+1,&\mathrm{se~}x\ge 3\\ \!\!-3x+7,&\mathrm{se~}x < 3 \end{array}\right. \end{array}$

Cada sentença é uma função do primeiro grau em $x,$ cujos gráficos serão semirretas no plano, que são determinadas conhecendo-se dois de seus pontos.

• Calculando $f(3):$

    $f(3)=-(3)+1\quad\Longleftrightarrow\quad f(3)=-2\qquad\checkmark$

O ponto $(3,\,-2)$ pertence ao gráfico de $f.$

•     Para $x<3,$ tomemos outro ponto, por exemplo $x=0:$

    $f(0)=-3\cdot (0)+7\quad\Longleftrightarrow\quad f(0)=7\qquad\checkmark$

O ponto $(0,\,7)$ pertence ao gráfico de $f.$

Para $x\ge 3,$ podemos tomar por exemplo $x=6:$

    $f(6)=-(6)+1\quad\Longleftrightarrow\quad f(6)=-5\qquad\checkmark$

O ponto $(6,\,-5)$ pertence ao gráfico de $f.$

O gráfico de $f$ segue em anexo.

b) Verificando se $f$ é injetora:

Dizemos que $f$ é injetora se e somente se para quaisquer $x_1,\,x_2\in \mathrm{Dom}(f),$ se $f(x_1)=f(x_2),$ então $x_1=x_2.$

Em outras palavras, se $f$ é injetora, então não existem dois elementos do domínio de $f$ que possuem a mesma imagem.

• Verificando para $x<3:$

Considere $x_1,\,x_2\in\;]\!-\infty,\,3[\,,$ tais que $f(x_1)=f(x_2):$

    $f(x_1)=f(x_2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad -3x_1+7=-3x_2+7\\\\ \Longleftrightarrow\quad -3x_1=-3x_2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_1=x_2$

Logo, $f$ é injetora para $x<3.$

• Verificando para $x\ge 3:$

Considere $x_1,\,x_2\in [3,\,+\infty[\,,$ tais que $f(x_1)=f(x_2):$

    $f(x_1)=f(x_2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad -x_1+1=-x_2+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad -x_1=-x_2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_1=x_2$

Logo, $f$ é injetora para $x\ge 3.$

Concluímos então que $f$ é injetora.

Dizemos que $f$ é sobrejetora se e somente se, dado $y\in \mathrm{CD}(f),$ existe $x\in\mathrm{Dom}(f)$ tal que $y=f(x).$

Equivalentemente, podemos afirmar que $f$ é sobrejetora se e somente se todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio, isto é, sempre conseguimos resolver a equação $y=f(x)$ para a variável $x,$ com $x\in\mathrm{Dom}(f)$

• Verificando para $x<3:$

Seja $y=-3x+7,$ com $x\in\;]\!-\infty,\,3[\,.$ Resolvendo a equação para $x,$ encontramos

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad y-7=-3x\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{y-7}{-3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{7-y}{3}\qquad\checkmark \end{array}$

e se $x<3,$ temos

    $\Longleftrightarrow\quad -3x > -9\\\\ \Longleftrightarrow\quad -3x+7 > -9+7 \\\\ \Longleftrightarrow\quad -3x+7 > -2\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x) > -2\qquad\checkmark$

Logo, $f(\,]\!-\infty,\,3[\,)=\;]\!-2,\,+\infty[\,.$

• Verificando para $x\ge 3:$

Seja $y=-x+1,$ com $x\in[3,\,\!+\infty[\,.$ Resolvendo a equação para $x,$ encontramos

   $\Longleftrightarrow\quad y-1=-x\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=-(y-1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=-y+1\qquad\checkmark$

e se $x\ge 3,$ temos

      $\Longleftrightarrow\quad x\le -3\\\\ \Longleftrightarrow\quad -x+1\le -3+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad -x+1\le -2\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x)\le -2\qquad\checkmark$

Logo, $f(\,[3,\,+\infty[\,)=\;]\!-\infty,\,-2\,].$

Dessa forma, temos

    $\mathrm{Im}(f)=f(\,]\!-\infty,\,3[\,)\,\cup\,f(\,[3,\,+\infty]\,)\\\\ =\,]\!-2,\,+\infty[\;\cup\;[\,-\infty,\,-2]\\\\=\mathbb{R}=\mathrm{CD}(f)\qquad\checkmark$

Logo, $f$ é sobrejetora.

Como $f$ é simultaneamente injetora e sobrejetora, então $f$ é bijetora e consequentemente admite inversa.

c) A inversa de $f$ é dada abaixo:

    $f^{-1}(y)=\left\{\begin{array}{rl}\dfrac{7-y}{3},&\mathrm{se~}y > -2\\\\ -y+1,&\mathrm{se~}y\le -2 \end{array}\right.$

Bons estudos!